De l'utilisation des processus de Poisson pour la simulation d'événements rares

Using Poisson processes for rare event simulation

• Auteur / Autrice : Clément Walter
• Direction : Josselin Garnier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/10/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires (Paris ; 1997-2017)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Boucheron
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Josselin Garnier, Stéphane Boucheron, François Le Gland, Daniel Straub, Éric Moulines, Arnaud Guyader, Gilles Defaux, Tony Lelièvre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Le Gland, Daniel Straub

Mots clés

Mots clés contrôlés

Loi de Poisson

Simulation, Méthodes de

Fiabilité

Monte-Carlo, Méthode de

Mots clés libres

Splitting

Subset Simulation

Nested sampling

Calcul parallèle

Splitting

Subset Simulation

Nested sampling

Parallel computation

Résumé

Cette thèse est une contribution à la problématique de la simulation d'événements rares. A partir de l'étude des méthodes de Splitting, un nouveau cadre théorique est développé, indépendant de tout algorithme. Ce cadre, basé sur la définition d'un processus ponctuel associé à toute variable aléatoire réelle, permet de définir des estimateurs de probabilités, quantiles et moments sans aucune hypothèse sur la variable aléatoire. Le caractère artificiel du Splitting (sélection de seuils) disparaît et l'estimateur de la probabilité de dépasser un seuil est en fait un estimateur de la fonction de répartition jusqu'au seuil considéré. De plus, les estimateurs sont basés sur des processus ponctuels indépendants et identiquement distribués et permettent donc l'utilisation de machine de calcul massivement parallèle. Des algorithmes pratiques sont ainsi également proposés.Enfin l'utilisation de métamodèles est parfois nécessaire à cause d'un temps de calcul toujours trop important. Le cas de la modélisation par processus aléatoire est abordé. L'approche par processus ponctuel permet une estimation simplifiée de l'espérance et de la variance conditionnelles de la variable aléaoire résultante et définit un nouveau critère d'enrichissement SUR adapté aux événements rares

This thesis address the issue of extreme event simulation. From a original understanding of the Splitting methods, a new theoretical framework is proposed, regardless of any algorithm. This framework is based on a point process associated with any real-valued random variable and lets defined probability, quantile and moment estimators without any hypothesis on this random variable. The artificial selection of threshold in Splitting vanishes and the estimator of the probability of exceeding a threshold is indeed an estimator of the whole cumulative distribution function until the given threshold. These estimators are based on the simulation of independent and identically distributed replicas of the point process. So they allow for the use of massively parallel computer cluster. Suitable practical algorithms are thus proposed.Finally it can happen that these advanced statistics still require too much samples. In this context the computer code is considered as a random process with known distribution. The point process framework lets handle this additional source of uncertainty and estimate easily the conditional expectation and variance of the resulting random variable. It also defines new SUR enrichment criteria designed for extreme event probability estimation.