Le formalisme multisymplectique pour les théories des super-champs et les structures symplectiques non-équivalentes sur l'espace des phases co-variant

Multisymplectic formalism for theories of super-fields and non-equivalent symplectic structures on the covariant phase space

• Auteur / Autrice : Luca Veglia
• Direction : Frédéric Hélein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Anton Zorich
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Hélein, Anton Zorich, Gijs M. Tuynman, Hovhannes Khudaverdyan, Daniel Bennequin, Christian Brouder
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gijs M. Tuynman, Hovhannes Khudaverdyan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Supersymétrie

Lagrange, Espaces de

Géométrie symplectique

Systèmes hamiltoniens

Mots clés libres

Multisymplectique

Superchamps

Super-Poincaré-Cartan

Berezinien

Multisymplectic

Superfield

Super-Poincaré-Cartan

Berezinian

Résumé

Le Calcul des Variations et son interprétation géométrique ont toujours joué un rôle crucial en Physique Mathématique, que ce soit par le formalisme lagrangien, ou à travers les équations hamiltoniennes.Le formalisme multisymplectique permet une description géométrique de dimension finie des théories de champ classiques (qui correspondent à des problèmes variationnels avec plusieurs variables spatio-temporelles) vues d’un point de vue hamiltonien. La géométrie multisymplectique joue un rôle similaire à celui de la géométrie symplectique dans la description de la mécanique hamiltonienne classique. De plus, l’approche multisymplectique fournit un outil pour construire une structure symplectique sur l’espace des solutions de la théorie des champs et pour l’étudier.Dans cette thèse, je m’intéresse principalement au formalisme multisymplectique pour construire des théories de champs de premier ordre et j’espère pouvoir donner deux principales contributions originales :– Je montre que, dans certaines situations, la structure symplectique de l’espace des phases covariant peut en effet dépendre du choix de la topologie du découpage de l’espace-temps en l’espace et en le temps;– Je construis une extension du formalisme multisymplectique aux théories de super-champs. En tant que «sous-produit», je présente une autre contribution que j’espère intéressante :– Je définie des formes fractionnaires sur des supervariétés avec leur calcul de Cartan. Ces formes fractionnaires se révèlent utiles pour construire le formalisme multisymplectique pour les théories de super-champs.Les ingrédients principaux du formalisme que j'utilise sont : l’espace des multimoments de dimension finie P et son extension aux théories de super-champs que je définie ; la superforme lagrangienne, le superhamiltonien et la superforme multisymplectique. Dans la thèse je montre aussi un théorème de comparaison qui permets de clarifier les relations existant entre les théories dites en composantes et les théories de superchamps. J’explique comment le formalisme supermultisymplectique peut être utilisé pour définir des super crochets de Poisson pour les superchamps. Je donne une version "super" du premier théorème de Noether valable pour l'action de supergroupes de symétrie et je propose une extension « super » de l'application multimoment. Enfin je présente quelques exemples montrant comment toute la théorie peut être mise en œuvre : en particulier j'étudie la superparticule libre et le modèle sigma 3-dimensionnel.

The Calculus of Variations and its geometric interpretation always played a key role in Mathematical Physics, either through the Lagrangian formalism, or through the Hamiltonian equations.The multisymplectic formalism allows a finite dimensional geometric description of classical field theories seen from an Hamiltonian point of view. Multisymplectic geometry plays the same role played by symplectic geometry in the description of classical Hamiltonian mechanics. Moreover the multisymplectic approach provides a tool for building a symplectic structure on the space of solutions of the field theory and for investigating it.In this thesis I use the multisymplectic formalism to build first order field theories and I hope to give two main original contributions:– I show that, in some situations, the symplectic structure on the covariant phase space may indeed depend from the choice of splitting of spacetime in space and time;– I extend the multisymplectic formalism to superfield theories.As a "byproduct", I present another contribution:– I define fractional forms on supermanifolds with their relative Cartan Calculus. These fractional forms are useful to build the multisymplectic formalism for superfield theories.The main ingredients of the formalism I use are: the finite dimensional multimomenta phase space P and its extension to super field theories, which I give; the Lagrangian superform; the super-Hamiltonian, the multisymplectic superform.In my thesis I also prove a Comparison Theorem which allows to clarify the relations existing between the so called components theories and the so called superfield theories. I explain how the supermultisymplectic formalism can be used to define super Poisson brackets for super fields. I give a "super" version of the first Noether theorem valid for the action of supergroups of symmetry and I propose a “super” extension of the multimomentum map.Finally I present some examples showing how all the theory can be implemented: I study the free superparticle and the 3-dimensional sigma-model.