Sur les représentations automorphes non ramifiées des groupes linéaires sur Q de petits rangs.

par Thomas Mégarbané

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Gaëtan Chenevier.

Soutenue le 12-12-2016

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Centre de mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau, Essonne) (laboratoire) , École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre de Mathématiques Laurent Schwartz / CMLS (laboratoire) .

Le président du jury était Guy Henniart.

Le jury était composé de Gaëtan Chenevier, Loïc Merel, David Renard, Jean Lannes, Anne-Marie Aubert, Christine Bachoc.

Les rapporteurs étaient David Loeffler.

mots clés

• Théorie des nombres
• Formes automorphes
• Opérateurs de Hecke
• Voisins de Kneser
• Paramètres de Satake
• Théorie des nombres
• Formes automorphes
• Hecke, Opérateurs de
• Réseaux (mathématiques)
• Programme de Langlands

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations automorphes algébriques des groupes linéaires découvertes par Chenevier-Renard. On s'intéresse plus particulièrement à leurs paramètres de Satake. Pour cela, nous utilisons la théorie d'Arthur afin de faire apparaître ces représentations par le biais de représentations automorphes discrètes des groupes spéciaux orthogonaux de réseaux bien choisis. Ensuite, on détermine des propriétés d'opérateurs de Hecke agissant sur ces mêmes réseaux, ce qui nous donne de nombreuses informations sur ces paramètres de Satake. On arrive notamment à déterminer la trace dans la représentation standard de nombreux paramètres de Satake des représentations algébriques évoquées, dont les poids peuvent être arbitrairement grands. Ces résultats nous permettent aussi de déterminer de nombreux opérateurs de Hecke, associés aux voisinage de Kneser, vus comme endomorphismes agissant sur les classes d'isomorphisme des réseaux pairs de déterminant 2 en dimension 23 ou 25.

mots clés

• Number theory
• Automorphic representations
• Hecke operators
• Kneser neighbours
• Satake parameters

Titre traduit

About non-ramified automorphic representations of linear groups over Q for low ranks.

Résumé

In this these we study the different algebraic automorphic representations discovered by Chenevier-Renard. We focus more particularly on their Satake parameters. To do so, we use Arthur's theory, which enables us to see these representations through discrete automorphic representations for the special orthogonal group of well chosen lattices. Afterwards, we can compute some properties of Hecke operators acting on these lattices. This gives us a lot of information on these Satake parameters. In particular, we can determine the trace in the standard representation for many of these algebraic representations, which weight can be arbitrarily high. These results also enable us to compute many Hecke operators, connected to the notion of neighbourhood developed by Kneser, seen as linear operators acting on the classes of isomorphism of even lattices with determinant 2 in dimension 23 or 25.