Large comportement au temps large de l'équation de Prandtl et des systèmes de magnétohydrodynamique

par Xu Zhang

Thèse de doctorat en Analyse des équations aux dérivées partielles

Sous la direction de Chao-Jiang Xu et de Zhong Tan.

Soutenue en 2016

à Rouen en cotutelle avec Xiamen university (Chine) , dans le cadre de École doctorale sciences physiques mathématiques et de l'information pour l'ingénieur (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime....-2016) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...) (laboratoire) .

Les rapporteurs étaient Wei-Xi Li, Marius-Gheorghe Paicu.

mots clés

• Hypothèse de monotonicité
• Méthode d'énergie
• Équations de Prandtl
• Couche limite
• Fluides newtoniens
• Magnétohydrodynamique
• Sobolev, Espaces de
• Théorèmes d'existence

Résumé

This thesis is made up of two parts. One is about the long time wellposedness of Prandtl equations with monotonicity assumption. The other one is the study of global solutions for inhomogeneous Magnetohydrodynamics system with bounded positive density. Recently, under the monotonic assumption, by using the energy method, Alexandre-Wang-Xu-Yang and Masmoudi-Wong have obtained the local in time existence of smooth solution in Sobolev space for Prandtl boundary layer equation, but the life span of their solution are very small. On the meantime, Xin-Zhang proved the global-in-time weak solution by Crocco transformation under monotonicity and favorable pressure assumption. The long time behavior of the Prandtl equations is important to make progress towards the inviscid limit of the Navier-Stokes equations. With this motivation, in the first part of this thesis, we study the long time well-posedness for the nonlinear Prandtl boundary layer equation on the half plane. We consider a class of the initial data as perturbations around a monotonic shear profile and we prove the existence, uniqueness and stability of solutions in weighted Sobolev space, whose life span can be arbitrarily long while the initial perturbations are small enough. We use the energy method to prove the existence of solutions by a parabolic regularizing approximation. The nonlinear cancellation properties of Prandtl equations under the monotonic assumption are the main ingredients to establish a new energy estimate. The second part of this thesis is about global well-posedness of inhomogeneous magnetohydrodynamics(MHD) system. Recently, Danchin-Mucha have obtained well posedness of inhomogeneous Navier-Stokes equation while the density could be discontinuous by using Lagrangian transformation, or the material derivative. We will prove the global well-posedness of inhomogeneous MHD system while the density just has a positive lower bound and the initial magnetic field contains large oscillations. We first get the à priori estimate in Euler coordinate and then prove the local-in-time well-posedness of inhomogeneous MHD system in Lagrangian coordinate. Moreover, local solutions become global if the usual H1 norm of velocity and L2\L4 norm of magnetic field are small enough. Here, the smallness assumptions are different on initial velocities and initial magnetic fields. Moreover, we don’t need to demand gradient of magnetic field to be small enough as that of velocities. So the initial magnetic filed can contain large oscillation.

Titre traduit

The Large time behavior of Prandtl equations and magnetohydrodynamics system

Résumé

Cette thèse se compose de deux parties: 1) existence de solutions au temps large pour l’équation de Prandtl sous l’hypothèse de monotonicité. 2) l’étude des solutions globales des systèmes magnétohydrodynamiques non homogènes avec des densités positives et bornées inférieurement. Récemment, sous l’hypothèse de monotonicité, en utilisant la méthode d’énergie, Alexandre-Wang-Xu-Yang et Masmoudi-Wong ont obtenu l’existence locale de solutions dans l’espace de Sobolev pour l’équation de couches limites de Prandtl, mais le temps de vie de leurs solutions est très petit. Par ailleurs, Xin-Zhang ont montré l’existence de solutions globales faibles par la transformation de Crocco, sous l’hypothèse de monotonicité en plus de la favorité de la pression. Le comportement au temps large de l’équation de Prandtl est très important pour étudier la théorie de couches limites de Prandtl. Avec cette motivation, la première partie de cette thèse est consacrée à l’étude du probème de Cauchy associé à l’équation de couches limites de Prandtl sur le demi-plan pour des temps larges. Plus précisemment, pour une classe de données initiales qui sont des perturbations autour d’un profil monotone, nous avons établi l’existence, l’unicité et la stabilité de solutions dans l’espace de Sobolev avec des poids. De plus, nous avons montré que le temps de vie des solutions est arbitrairement long si la perturbation initiale est assez petite. L’approche qu’on a adoptée pour prouver l’existence de solutions est basée sur la méthode d’énergie et la régularisation parabolique. La proprieté d’annulation non-linéaire de l’équation de Prandtl sous l’hypothèse de monotonicité est le point clé pour étabilir une nouvelle estimation d’énergie. La deuxième partie de cette thèse est d’édiée au problème d’existence globale pour les systèmes magnétohydrodynamiques (MHD) non homogènes. Récemment, Danchin-Mucha ont obtenu le caractère bien posé pour le problème de Cauchy associé à l’équation de Navier-Stokes non homogène avec une densité discontinue en utilisant la transformation de Lagrange ou le dérivé matériau. Dans cette partie, nous montrons que le problème de Cauchy associé au système de MHD non homogène est globalement bien posé lorsque la densité admet une borne inférieure positive et le champ magnétique initial contient de grandes oscillations. Nous prouvons d’abord l’estimation à priori dans les coordonnées d’Euler puis nous étabissons l’existence locale pour le système MHD non homogène dans les coordonnées de Lagrange. En outre, nous démontrons que ces solutions locales deviennent globales si les normes H1 de la vitesse et L2 \ L4 du champ magnétique sont suffisamment petites. Ici, les hypothèses de petitesse sont différentes sur les vitesses et les champs magnétiques initiaux. En outre, on n’a pas demandé la petitesse sur le gradient du champ magnétique. Donc les données initiales des champs magnétiques peuvent avoir de grandes oscillations