Processus stochastiques et systèmes désordonnés : autour du mouvement Brownien

par Mathieu Delorme

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Kay Jörg Wiese et de Pierre Le Doussal.

Le président du jury était Clément Sire.

Le jury était composé de Kay Jörg Wiese, Clément Sire, Pavel L. Krapivsky, Joachim Krug, Kirone Mallick, Christophe Texier.

Les rapporteurs étaient Pavel L. Krapivsky, Joachim Krug.


  • Résumé

    Dans cette thèse, on étudie des processus stochastiques issus de la physique statistique. Le mouvement Brownien fractionnaire, objet central des premiers chapitres, généralise le mouvement Brownien aux cas où la mémoire est importante pour la dynamique. Ces effets de mémoire apparaissent par exemple dans les systèmes complexes et la diffusion anormale. L’absence de la propriété de Markov rend difficile l’étude probabiliste du processus. On développe une approche perturbative autour du mouvement Brownien pour obtenir de nouveaux résultats, sur des observables liées aux statistiques des extrêmes. En plus de leurs applications physiques, on explore les liens de ces résultats avec des objets mathématiques, comme les lois de Lévy et la constante de Pickands.

  • Titre traduit

    Stochastic processes and disordered systems : around Brownian motion


  • Résumé

    In this thesis, we study stochastic processes appearing in different areas of statistical physics: Firstly, fractional Brownian motion is a generalization of the well-known Brownian motion to include memory. Memory effects appear for example in complex systems and anomalous diffusion, and are difficult to treat analytically, due to the absence of the Markov property. We develop a perturbative expansion around standard Brownian motion to obtain new results for this case. We focus on observables related to extreme-value statistics, with links to mathematical objects: Levy’s arcsine laws and Pickands’ constant. Secondly, the model of elastic interfaces in disordered media is investigated. We consider the case of a Brownian random disorder force. We study avalanches, i.e. the response of the system to a kick, for which several distributions of observables are calculated analytically. To do so, the initial stochastic equation is solved using a deterministic non-linear instanton equation. Avalanche observables are characterized by power-law distributions at small-scale with universal exponents, for which we give new results.


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