Méthodes numériques pour le transport optimal multi-marges

Numerical Methods for Multi-Marginal Optimal Transportation

• Auteur / Autrice : Luca Nenna
• Direction : Jean-David Benamou, Guillaume Carlier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 05/12/2016
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Yann Brenier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yann Brenier, Dejan Slepčev, Alfred Galichon, Mathieu Lewin, Christian Léonard, Virginie Ehrlacher
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dejan Slepčev, Alfred Galichon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Théorie de la fonctionnelle de densité

Probabilités

Équations d'Euler

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Transport optimal

Transport Optimal Multi-Marges

Régularisation entropique

Algorithme de Bregman

Algorithme de Dykstra

Équations d’Euler

Tfd

Problème de Schrödinger

Map fractale

Cournot-Nash

Transport Partiel

Contrainte de capacité

Barycentre de Wasserstein

Optimal transport

Multi-Marginal Optimal transport

Entropic regularization

Dykstra algorithm

Bregman algorithm

Euler equations

Dft

Schrödinger problem

Fractal map

Cournot-Nash

Partial transport

Capacity constraint

Wasserstein barycenter

Résumé

Dans cette thèse, notre but est de donner un cadre numérique général pour approcher les solutions des problèmes du transport optimal (TO). L’idée générale est d’introduire une régularisation entropique du problème initial. Le problème régularisé correspond à minimiser une entropie relative par rapport à une mesure de référence donnée. En effet, cela équivaut à trouver la projection d’un couplage par rapport à la divergence de Kullback-Leibler. Cela nous permet d’utiliser l’algorithme de Bregman/Dykstra et de résoudre plusieurs problèmes variationnels liés au TO. Nous nous intéressons particulièrement à la résolution des problèmes du transport optimal multi-marges (TOMM) qui apparaissent dans le cadre de la dynamique des fluides (équations d’Euler incompressible à la Brenier) et de la physique quantique (la théorie de fonctionnelle de la densité ). Dans ces cas, nous montrons que la régularisation entropique joue un rôle plus important que de la simple stabilisation numérique. De plus, nous donnons des résultats concernant l’existence des transports optimaux (par exemple des transports fractals) pour le problème TOMM.

In this thesis we aim at giving a general numerical framework to approximate solutions to optimal transport (OT) problems. The general idea is to introduce an entropic regularization of the initialproblems. The regularized problem corresponds to the minimization of a relative entropy with respect a given reference measure. Indeed, this is equivalent to find the projection of the joint coupling with respect the Kullback-Leibler divergence. This allows us to make use the Bregman/Dykstra’s algorithm and solve several variational problems related to OT. We are especially interested in solving multi-marginal optimal transport problems (MMOT) arising in Physics such as in Fluid Dynamics (e.g. incompressible Euler equations à la Brenier) and in Quantum Physics (e.g. Density Functional Theory). In these cases we show that the entropic regularization plays a more important role than a simple numerical stabilization. Moreover, we also give some important results concerning existence and characterization of optimal transport maps (e.g. fractal maps) for MMOT .