Thèse soutenue

Etude de l'équation de Korteweg-de Vries en variables lagrangiennes et sa contrôlabilité, stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger et méthodes spectrales pour le calcul du contrôle optimal
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Auteur / Autrice : Ludovick Gagnon
Direction : Jean-Michel Coron
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
Date : Soutenance le 27/06/2016
Etablissement(s) : Paris 6
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvain Ervedoza, Jean-Pierre Puel, Pierre Rouchon, Emmanuel Trélat, Olivier Glass
Rapporteurs / Rapporteuses : Fatiha Alabau-Boussouira, Enrique Zuazua

Résumé

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Cette thèse est consacrée la contrôlabilité lagrangienne, l'étude du champ de vitesse de l'Équation de Korteweg-de Vries, le problème de stabilisation rapide d'une équation aux dérivées partielles linéaires et aux méthodes numériques permettant d'obtenir la convergence des contrôles numériques vers les contrôles optimaux. Dans la première partie, on montre, l'aide de la solution de N-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries, qu'il est possible de faire sortir des particules du fluide l’extérieur d'un domaine déterminé en temps arbitrairement petit. Une meilleure approximation du champ de vitesse associée la solution de N-solitons est également présentée, permettant de retrouver en particulier une propriété typique des trajectoires des particules soumises des ondes solitaires : les particules situées plus haut dans le fluide ont un plus grand déplacement. Dans la deuxième partie, la stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger est obtenue grâce une méthode inspirée du backstepping en dimension infinie. Une équation de Schrödinger stable est considérée comme l'image d'une transformation ayant comme domaine de définition les solutions de l'équation de Schrödinger stabilisé. La stabilisation de l'équation de Schrödinger est obtenue en montrant l'inversibilité de la transformation. La nouveauté du travail présentée est l'introduction d'une condition d’unicité sur la transformation. Finalement, un filtre spectral, une formulation mixte et une formulation de Nitsche sont proposées comme technique afin d'obtenir numériquement l’observabilité uniforme de l'équation des ondes semi-discrétisée avec une méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Une étude numérique de la convergence des contrôles numériques sans l’admissibilité uniforme de l’opérateur de contrôle est également présentée.