Etude mathématique de modèles de couches visqueuses pour des écoulements naturels

Mathematical study of viscous layer models for natural ows

• Auteur / Autrice : Mathilde Legrand
• Direction : François James
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/11/2016
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire mathématiques - analyse, probabilités, modélisation (Orléans ; 2012-2017)
• Jury : Président / Présidente : Magali Ribot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François James, Magali Ribot, Didier Bresch, David Gérard-Varet, Pierre-Yves Lagrée
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Didier Bresch, David Gérard-Varet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Navier-Stokes, Équations de

Équations de Prandtl

Équations différentielles hyperboliques

Couche limite

Écoulement visqueux

Fluides

Écoulement de base (hydrologie)

Mots clés libres

Eaux peu profondes

Fluide parfait

Couche visqueuse

Couche limite

Epaisseur de déplacement

Friction

Condition de transpiration

Topographie apparente

Equation de von Kármán

Equations de Prandtl

Shallow water

Ideal fluid

Viscous layer

Boundary layer

Displacement thickness

Friction

Transpiration boundary condition

Apparent topography

Von Kármán equation

Prandtl equations

Résumé

Le système de Saint Venant est répandu pour modéliser des fluides dont la hauteur est inférieure au domaine d'écoulement. Son écriture nécessite des hypothèses sur le profil de vitesse pour connaître le flux de la quantité de mouvement ainsi que le cisaillement sur le fond. Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à un couplage entre un fluide parfait et une couche visqueuse dans l'esprit des couches limites interactives (IBL) introduites en aéronautique. Cette interaction nous permet de proposer un terme de friction en adéquation avec les attentes physiques au regard de la position du maximum local. Une part importante de cette thèse est donc consacrée à la compréhension de la couche visqueuse dans laquelle la recherche du profil de vitesse est cantonnée. Cette étude se décompose en l'écriture des équations de Prandtl puis en l'établissement de l'équation de von Kármán. Cette dernière met en jeu les quantités nécessaires à la définition du flux recherché et est donc un élément clé de la fermeture du système. Des résultats numériques viennent illustrer le modèle obtenu par le couplage entre le fluide parfait et la couche visqueuse. Le dernier chapitre expose deux formulations alternatives obtenues d'un point de vue d'un écoulement d'un fluide parfait dont les conditions sur les bords du domaine sont modifiées, soit par une condition de transpiration définie sur le fond, soit par une modification du domaine enlien avec une topographie apparente.

Shallow Water system is widely used for flows when the depth is smaller than the longitudinal scale. The establishment needs some hypothesis on the velocity profile in order to describe the moment flux and the shear stress on ground. In this thesis, we present a two layer decomposition of the fluid between an ideal fluid and a viscous layer in the spirit of the Interactive Boundary Layer (IBL) introduced in aeronautics. This interaction leads to obtain in our equations a friction term which fits with the physical expectations for the local maximum. So a major part of this work is interested in the comprehension of the viscous layer where the velocity profile is confined. The study is based on the writing of Prandtl equations then the establishment of the von Kármán equation. The last one contains the necessary quantities for a definition of the researched flux. Also this equation is essential for a closure of the system. Some numerical results illustrate the proposed model with the association of ideal fluid ans viscous layer. A last chapter presents two alternatives formulations of the model based on an ideal fluid with modified boundary conditions. The first one keeps the same domain but has a transpiration boundary.