Sur les lacets positifs des plongements legendriens lâches

par Guogang Liu

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Vincent Colin.

Soutenue le 12-09-2016

à Nantes , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) (laboratoire) .

Le président du jury était Klaus Niederkrüger.

Le jury était composé de François Laudenbach, Baptiste Chantraine.

Les rapporteurs étaient Claude Viterbo, Francisco Presas.

mots clés

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• Legendre, Fonctions de
• Applications (mathématiques)

Résumé

Dans la thèse, on a étudié le problème des isotopies legendriennes positif. C’est-à-dire que les isotopies préservent le structure de contact et les fonctions Hamiltoniennes associés sont positif. On a montré que si une sou-variété legendrienne est lâche, il existe un lacet positif des plongements legendriennes basé sur lui. On a le trait en deux cas, le cas en dimension un et deux, l’autre en grandes dimensions. Dans les cas en bases dimensions, on a construit des lacets positive par la main. Dans les autres cas, on a utilisé les techniques de h-principe avancé, c’est-à-dire, la approximation holonome ridé et la intégration convexe pour les relations «non-ample». Avec la approximation holonome ridé, on a obtenue un lacet de plongements Legendriennes qui est positive sauf que en un ensemble fini des discs. Puis, on a le deformé à un lacet positif par l’idée de la intégration convexe. Ce resulat a deux applications immédiates. On donne une simple démonstration sans les techniques de courbes holomorphes pour le Théorème : les espaces des éléments de contact, muni de la structure standard sont tendues. On a aussi montré le produit contact de une variété de contact vrillées est vrillées et la diagonale est lâche, de puis la diagonal est dans un lacet positif. Isotopies positif legendriennes relient aux ordres de le revêtement universel de la groupe de contactomorphisme. On a définit un ordre par isotopies positif legendriennes dan le produit contact. Il nous aide de étudié les propriétés de contactomorphisme en manière de isotopies positif legendriennes.

Titre traduit

On positive loops of loose Legendrian embeddings

Résumé

In the thesis, we have studied the problem of positive Lengendrian isotopies. That is to say, the isotopies preservepo the contact structure and the hamiltonnian functions of the isotopies are positive. We have proved that for a loose Legendrian there exists a positive loop of Legendrian embeddings based in it. We treated this result in two cases. In lower dimensions cases, we constructed positive loops by hand. In higher dimensions cases, we applied the advanced h-principle techniques. Given a loose Legendrian embedding, firstly, by the holonomic approximation, we constructed a loop of Legendrian embeddings based in it which is positive away from a finite number of disks. Secondly, we deformed it to a positive loop by the idea of convex integration. The result has two immediate applications. Firstly, we reprove the theorem that the spaces of contact elements are tight without holomorphic curves techniques. Secondly, we proved the contact product of an overtwisted contact manifold is overtwisted and the diagonal is loose, furthermore, the diagonal is in positive loop. In the end, we have defined a partial order on the universal cover of the contactomorphism group by positive Legendrian isotopies in the contact product. It will help us to study the properties of contactomorphism via positive Legendrian isotopies.