Hamiltoniens, lagrangiens et sous-ensembles coïsotropes associés aux structures de Poisson

Hamiltonians, Lagrangians and coisotropic subsets associated to Poisson structures

• Auteur / Autrice : Yahya Turki
• Direction : Camille Laurent-Gengoux, Nouri Kamoun
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/07/2016
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université de Monastir (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Salah Mehdi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Slaïm Ben Farah
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Boujemaâ Agrebaoui, Friedrich Wagemann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Poisson, Distribution de

Feuilletages (mathématiques)

Bivecteurs

Lagrange, Espaces de

Espaces hamiltoniens

Mots clés libres

Géométrie de poisson

Coïsotropie

Chemins cotangents

Feuilletages

Lagrangiens

Poisson geometry

Coisotropic

Cotangents paths

Lagrangian

Résumé

Cette thèse contient essentiellement deux chapitres principaux qui ont en commun de porter sur ce que l'on appelle en géométrie de Poisson les chemins cotangents. Dans le premier chapitre, nous introduisons pour chaque hamiltonien, un lagrangien sur les chemins à valeurs dans l'espace cotangent dont les points stationnaires indiquent si le champ de bivecteur est de Poisson ou au moins définit une distribution intégrable - une classe de champs de bivecteurs qui généralise les structures de Poisson tordus que nous étudions en détail. Nous traitons dans le deuxième chapitre d'un autre résultat classique à propos des chemins cotangents, dû à Klimčík, Strobl et étudiée par Cattaneo et Felder. Un bivecteur sur une variété M est de Poisson si et seulement si l'ensemble C_p des chemins cotangents pour p est co"{i}sotrope dans la variété symplectique des chemins à valeurs dans T^*M. Notre but dans le deuxième chapitre est de reprendre la caractérisation des bivecteurs de Poisson, en travaillant avec des fonctions locales sur l'ensemble des chemins lisses, pour lesquels l'utilisation d'une variété de Banach peut être évitée. Ceci permet d'étendre au cas périodique

In this thesis, we study cotangents paths. In chapter 1 we introduce for every Hamiltonian a Lagrangian on paths valued in the cotangent space whose stationary points projects onto Hamiltonian vector fields. We show that the remaining components of those stationary points tell whether the bivector field is Poisson or at least defines an integrable distribution - a class of bivector fields generalizing twisted Poisson structures that we study in detail. In chapter 2, we establish a local function version of a result due to Klimčík and Strobl then Cattaneo and Felder claiming that a bivector field on a manifold M is Poisson if and only if cotangent paths form a coisotropic submabifold of the infinite dimensional symplectic manifold of paths valued in T^*M. Our purpose in chapter 2 is to prove this result without using the Banach manifold setting used by Cattaneo and Felder, which fails in the periodic case because cotangent loops do not form a Banach sub-manifold. Instead, we use local functions on the path space, a point of view that allows to speak of a coisotropic set