Contributions aux équations d'évolution frac-différentielles

Contributions to frac-differential evolution equations

• Auteur / Autrice : Rafika Lassoued
• Direction : Ferdaous Kellil, Mokhtar Kirane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/01/2016
• Etablissement(s) : La Rochelle en cotutelle avec Université de Monastir (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Mathématiques, Image et Applications (La Rochelle)
• Jury : Président / Présidente : Mohamed Ali Jendoubi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ferdaous Kellil, Mokhtar Kirane, Mohamed Ali Jendoubi, Mohammed Guedda, Mohamed Majdoub, Kaïs Ammari
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mohammed Guedda, Mohamed Majdoub

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laplacien

Développements asymptotiques

Équations différentielles fractionnaires

Mots clés libres

Calcul fractionnaire

Dérivée fractionnaire

Laplacien fractionnaire

Système de réaction-diffusion

Équation différentielle fractionnaire

Solution explosive

Temps d'explosion

Existence globale

Comportement asymptotique

Fractional calculus

Fractional derivative

Fractional Laplacian

Reaction-diffusion system

Fractional differential equation

Blowing-up solution

Blow-up time

Global existence

Asymptotic behavior

Résumé

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier système.

In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system.