Sur une anomalie du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons

On an anomaly of the perturbative expansion of Chern-Simons theory

• Auteur / Autrice : Kévin Corbineau
• Direction : Christine Lescop
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/10/2016
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Gwénaël Massuyeau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Louis Funar, Jean-Baptiste Meilhan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thomas Fiedler, Pierre Vogel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homologie

Théorie quantique des champs

Mots clés libres

Espaces de configurations

Sphère d'homologie rationnelle

Invariants de noeud

Anomalie

Développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons

Configuration space

Rational homology sphere

Knot invariants

Anomaly

Perturbative expansion of Chern-Simons theory

Résumé

Maxim Kontsevich a défini un invariant Z des sphères d'homologie rationnelle orientées de dimension 3 en 1992, en poursuivant l'étude initiée par Edward Witten du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons.L'invariant Z de Kontsevich est gradué. Il s'écrit Z=(Zn) {nin NN }, où Zn prend ses valeurs dans un espace CAn engendré par des diagrammes trivalents à 2n sommets appelésdiagrammes de Feynman-Jacobi de degré n.L'invariant Z apparait d'abord comme un invariant Z(M,tau) des sphères d'homologie rationnelle M de dimension 3 munies d'une parallélisation tau.Il est l'exponentielle d'un invariant z(M,tau)=(zn(M,tau)) {nin NN }dont la partie de degré n compte algébriquement les plongements des diagrammes de Feynman-Jacobi connexes à 2n sommets assujettis à vérifier certaines conditions.On peut associer un invariant homotopique entier p 1(tau) aux parallélisations tau des variétés orientées de dimension 3, et il existe un élément beta=(betan) {nin NN} de CAn appelé anomalie tel quezn(M,tau)-p 1(tau)betan soit indépendant de tau et noté zn(M).Z(M)=expleft((zn(M)){nin NN}right).On sait depuis l'introduction de cette constante par Greg Kuperberg et Dylan Thurston en 1999 que betan=0 si n est pair et que beta 1 neq 0.Cette thèse porte sur le calcul de la première valeur inconnue beta 3. Elle en présente des expressions très simplifiées et implémentables sur ordinateur.

The Kontsevich invariant Z of rational homology 3- sphere was constructed by Maxim Kontsevich in 1992 using configuration space integrals.This invariant is graduated. It can be written as Z=(Zn){nin NN}, where Zn values in the space mathcal{A} n of jacobi diagram with order n. A Jacobi diagram with order n is a trivalent graph with 2n vertices. At a first point, we can see Z as an invariant Z(M,tau) of rational homology 3-spheres equipped with a trivialisation tau so that Z is the exponential of an invariant z(M,tau)=(zn(M,tau)) {ninNN}. In fact, we can say that zn(M,tau) counts the number of embeddings of connected jacobi diagrams with order n with some additionnal conditions. We can associate an homotopic integer invariant p 1(tau) to each trivialisation tau of oriented 3-manifolds and it exists beta=(betan){ninNN}, where betaninmathcal{A} n that is called anomaly so that zn(M,tau) - p 1(tay) is independant of tau. We name it zn(M) and Z(M)=exp((zn(M){nin NN})).Greg Kuperberg and Dylan Thurston introduced this constant in 1999. We already know that betan=0 if n is even and beta 1neq 0. This thesis is about the computation of beta 3. It describes simplified expressions of beta 3, and this expressions can be compute with a computer.