Latopologie des groupes de tresses de cercles : applications et quotients remarquables

The topology of loop braid groups : applications and remarkable quotients

• Auteur / Autrice : Céleste Damiani
• Direction : Paolo Bellingeri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2016
• Etablissement(s) : Caen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale structures, informations, matière et matériaux (Caen ; 1992-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Normandie Université (2015-....)
• Jury : Président / Présidente : Susan Williams
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paolo Bellingeri, Susan Williams, Seiichi Kamada, Daniel Silver, Tara Brendle, John Guaschi, Emmanuel Wagner
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Seiichi Kamada, Daniel Silver

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes modulaires

Invariants

Théorie des tresses

Topologie de basse dimension

Mots clés libres

Tresses welded

Résumé

Dans cette thèse nous étudions les groupes de tresses de cercles, nous explorons leurs applications topologiques et certains quotients remarquables. La thèse se compose de quatre parties : - Unification des formalismes pour les groupes de tresses de cercles. Plusieurs formulations ont été utilisées pour les groupes de tresses de cercles en différents domaines ; nous présentons ces interprétations et prouvons leur équivalence. - Une version topologique du théorème de Markov pour les entrelacs de tores ruban. Avec l’interprétation des tresses de cercles comme objets noués dans l’espace de dimension 4, nous présentons une version du Théorème de Markov pour les groupes de tresses de cercles avec clôture dans l’analogue du tore solide dans l’espace de dimension 4. - Invariants d’Alexander pour enchevêtrements ruban et algèbres de circuit. Nous définissons un invariant d’Alexander pour enchevêtrements ruban. De cela nous extrayons une généralisation fonctorielle du polynôme d’Alexander. Cet invariant a une signification topologique profonde, mais n’est pas simplement calculable. Nous établissons une correspondance avec le polynôme d’Alexander en plusieurs variables pour enchevêtrements introduit par Archibald pour résoudre ce problème. - Quotients des groupes de tresses virtuelles. Nous étudions les groupes de tresses de cercles symétriques, et nous en décrivons la structure. Comme conséquence nous montrons que tout entrelacs «fused » admets un représentant comme clôture d’une tresse de cercles symétrique pure.

In this these we study loop braid groups, we explore some of their topological applications and some remarquable quotients. The thesis is composed by four parts:- Unifying the different approaches to loop braid groups. Several formulations are being used by researchers working with loop braid groups in different fields; we present these interpretations and prove their equivalence. - A topological version of Markov’s theorem for ribbon torus-links. Using the understanding of the interpretation of loop braids as knotted objects in the 4-dimensional space, we give a topological proof of a version of Markov theorem for loop braids with closure in a solid torus in the 4-dimensional space. - Alexander invariants for ribbon tangles. We define an Alexander invariant on ribbon tangles. From this invariant we extract a functorial generalization of the Alexander polynomial. This invariant has a deep topological meaning, but lacks a simple way of computation. To overcome this problem we establish a correspondence with Archibal’s multivariable Alexander polynomial for tangles. - Quotients of the virtual braid group. We study the groups of unrestricted virtual braids, a family of quotients of the loop braid groups, and describe their structure. As a consequence we show that any fused link admits as a representative the closure of a pure unrestricted virtual braid.