Le théorème central limite pour la marche linéaire sur le tore et le théorème de renouvellement dans Rd

The central limit theorem for the linear random walk on the torus and the renewal theorem in Rd

• Auteur / Autrice : Jean-Baptiste Boyer
• Direction : Jean-François Quint
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques pures
• Date : Soutenance le 28/06/2016
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Yves Guivarc'h
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Bercu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Bougerol, Sébastien Gouëzel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions harmoniques

Martingales (mathématiques)

Théorème de la limite centrale

Tore (géométrie)

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Marches aléatoires

Méthode de Gordin

Équation de Poisson

Théorème Central Limite

Produits de matrices aléatoires

Théorème de renouvellement

Martingales

Random walks

Gordin’s method

Poisson’s equation

Martingales

Central limit theorem

Products of random matrices

Renewal theorem

Résumé

La première partie de cette thèse porte sur l’étude de la marche aléatoire sur le tore Td := Rd/Zd définie par une mesure de probabilité SLd(Z). Pour étudier le Théorème Central Limite et la loi du logarithme itéré, nous appliquons la méthode de Gordin qui consiste à se ramener à des martingales. Pour cela, nous utilisons un résultat de Bourgain, Furmann, Lindenstrauss et Mozes nous permettant de résoudre l’équation de Poisson pour des points ayant de bonnes propriétés diophantiennes. Dans la deuxième partie, nous étudions la marche sur Rd\{0} définie par l’action de SLd(R) et nous montrons un résultat de vitesse de convergence dans le théorème de renouvellement de Guivarc’h et Le Page.

The first part of this thesis deals with the random walk on the torus Td := Rd/Zd defined by a robability measure on SLd(Z). To study the Central Limit Theorem and the Law of the Iterated Logarithm, we apply Gordin’s method. To do so, we use a result proved by Bourgain, Furmann, Lindenstrauss and Mozes to solve Poisson’s equation at point’s having good diophantine properties.In the second part, we study the walk on Rd \ {0} defined by the action of SLd(R) and we prove a result about the rate of convergence in Guivarc’h and Le Page’s renewal theorem.