Monogénéité et systèmes de numération

par Abdoulkarim Ibrahim Ahmed

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Vincent Fleckinger.

Soutenue le 12-12-2016

à Besançon , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Denis Simon.

Le jury était composé de Vincent Fleckinger, Denis Simon, Emmanuel Hallouin, Jean-Robert Belliard, Mohamed Kileh Wais.

Les rapporteurs étaient Denis Simon, Emmanuel Hallouin.

mots clés

• Anneaux des entiers
• Monogénéité
• Extensions relatives
• Équation de Thue
• Conjecture de Collatz
• Théorie des nombres
• Anneaux d'entiers

Résumé

Cette thèse est centrée autour de la monogénéité de corps de nombres en situation relative puis à la conjecture de Collatz.\newline Premièrement on détermine l'ensemble de classes des générateurs de l'anneau des entiers des certaines extensions relatives de corps de nombres, en utilisant l'algorithme de Gaál & Phost et le logiciel PARI/GP. La deuxième partie propose différents formulations d'une généralisation de la conjecture de Collatz, aux entiers p-adiques. On étudie ensuite le comportement de suites analogues dans le cadre d'anneaux d'entiers de corps de nombres.

mots clés

• Ring of integers
• Monogeneity
• Relative extension
• Thue equation
• Conjecture of Collatz

Titre traduit

Monogeneity and system numeration

Résumé

This thesis are centered around the monogeneity of number fields in a relative situation and the Collatz conjecture. Firstly, we determine the set of generator classes of the ring of integers of some relative extensions of number fields, using the Gaál& Phost algorithm and the PARI/GP software. The second part proposes different formulations of a generalization of the Collatz conjecture to p-adic integers. We then study the behavior of similar sequences in the framework of rings of integers of number fields.