Étude de méthodes précises d'approximation d'équations différentielles stochastiques ou d'équations aux dérivées partielles déterministes en Finance

Study of precise methods of approximation of stochastic differential equations or deterministic partial differential equations in Finance

• Auteur / Autrice : Lord Bienvenu Youmbi Tchuenkam
• Direction : Stéphane Descombes, Florian Pelgrin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/12/2016
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Jacques Blum
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Descombes, Florian Pelgrin, Jacques Blum, Pauline Lafitte-Godillon, Michael Rockinger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pauline Lafitte-Godillon, Michael Rockinger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Processus de diffusion

Équations différentielles stochastiques

Estimateurs biaisés

Mots clés libres

Biais

Équation différentielle stochastique

Expansion stochastique

Expansion de type Nagar

Processus de diffusion

Équation aux dérivées partielles

Méthodes ROCK (Runge-Orthogonal-Chebyshev-Kutta)

Bias

Stochastic differential equation

Stochastic expansion

Nagar's type expansion

Diffusion processes

Partial differential equation

ROCK methods

Résumé

Les travaux exposés dans cette thèse sont consacrés à l’étude de méthodesprécises pour approcher des équations différentielles stochastiques ou deséquations aux dérivées partielles (EDP) déterministes. La première parties’inscrit dans le cadre du développement de méthodes visant à corriger le biaisdans les processus de diffusion paramétrique. Trois modèles sont étudiés enparticulier : Ornstein-Uhlenbeck, Auto-régressif et Moyenne mobile. A l’issuede ce travail, plusieurs approximations de biais ont été proposées suivant deuxapproches : la première consiste en un développement de Taylor del’estimateur obtenu alors que la seconde s'appuie sur une expansionstochastique de celui-ci.La deuxième partie de cette thèse porte sur l’approximation de l’équation de lachaleur obtenue après changement de variables à partir du modèle de Black etScholes. En général, on préfère utiliser des méthodes implicites pour résoudredes EDP paraboliques mais depuis quelques années, les méthodes dites deRunge-Kutta explicites stabilisées, sont de plus en plus utilisées. Nousmontrons que l’utilisation de ce type de méthodes explicites et notamment lesschémas ROCK donnent de très bons résultats même si les conditions initialessont peu régulières, ce qui est le cas dans les modèles financiers

The work presented in this thesis is devoted to the study of precise methods forapproximating stochastic differential equations (SDE) or deterministic partialdifferential equations (PDE). The first part is devoted to the development ofbias correction methods in parametric diffusion processes. Three models arestudied in particular : Ornstein-Uhlenbeck, auto-regressive and Movingaverage. At the end of this work, several approximations of bias have beenproposed following two approaches : the first consists in a Taylor developmentof the obtained estimator while the second one relies on a stochastic expansionof the latter.The second part of this thesis deals with the approximation of the heatequation obtained after changing variables from the Black-Scholes model. Likethe vast majority of PDE, this equation does not have an exact solution, sosolutions must be approached using explicit or implicit time schemes. Itis often customary to prefer the use of implicit methods to solve parabolic PDEsuch as the heat equation, but in the past few years, the stabilized explicitRunge-Kutta methods which have the largest possible domains of stabilityalong the negative real axis, are increasingly used. We show that the useof this type of explicit methods and in particular the ROCK (Runge-Orthogonal-Chebyshev-Kutta) schemes give very good results even if the initial conditionsare not very regular, which is the case in the financial models