Influence du stochastique sur des problématiques de changements d'échelle

Stochastic influence on problematics around changes of scale

• Auteur / Autrice : Nathalie Ayi
• Direction : Florent Berthelin, Laure Saint-Raymond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/09/2016
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Gallagher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florent Berthelin, Laure Saint-Raymond, Isabelle Gallagher, Arnaud Debussche, Laurent Desvillettes, François Delarue, Thierry Goudon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Arnaud Debussche, Laurent Desvillettes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du transport

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Équations aux dérivées partielles

Gaz, Théorie cinétique des

Mots clés libres

Cinétique des gaz

Équations aux dérivées partielles

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Équation de Boltzmann

Loi de conservation

Modèle BGK stochastique

Lemme de moyenne

Approximation de Rosseland

Modèle de Uchiyama

Limite Boltzmann-Grad

Limite hydrodynamique

Limite diffusive

Kinetic theory of gas

Partial differential equations

Stochastic partial differential equation

Boltzmann equation

Conservation law

Stochastic BGK model

Averaging lemma

Rosseland approximation

Uchiyama's model

Boltzmann-Grad limit

Hydrodynamical limit

Diffusive limit

Résumé

Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans le domaine des équations aux dérivées partielles et sont liés à la problématique des changements d'échelle dans le contexte de la cinétique des gaz. En effet, sachant qu'il existe plusieurs niveaux de description pour un gaz, on cherche à relier les différentes échelles associées dans un cadre où une part d'aléa intervient. Dans une première partie, on établit la dérivation rigoureuse de l'équation de Boltzmann linéaire sans cut-off en partant d'un système de particules interagissant via un potentiel à portée infinie en partant d'un équilibre perturbé.La deuxième partie traite du passage d'un modèle BGK stochastique avec champ fort à une loi de conservation scalaire avec forçage stochastique. D'abord, on établit l'existence d'une solution au modèle BGK considéré. Sous une hypothèse additionnelle, on prouve alors la convergence vers une formulation cinétique associée à la loi de conservation avec forçage stochastique.Au cours de la troisième partie, on quantifie dans le cas à vitesses discrètes le défaut de régularité dans les lemmes de moyenne et on établit un lemme de moyenne stochastique dans ce même cas. On applique alors le résultat au cadre de l'approximation de Rosseland pour établir la limite diffusive associée à ce modèle.Enfin, on s'intéresse à l'étude numérique du modèle de Uchiyama de particules carrées à quatre vitesses en dimension deux. Après avoir adapté les méthodes de simulation développées dans le cas des sphères dures, on effectue une étude statistique des limites à différentes échelles de ce modèle. On rejette alors l'hypothèse d'un mouvement Brownien fractionnaire comme limite diffusive

The work of this thesis belongs to the field of partial differential equations and is linked to the problematic of scale changes in the context of kinetic of gas. Indeed, knowing that there exists different scales of description for a gas, we want to link these different associated scales in a context where some randomness acts, in initial data and/or distributed on all the time interval. In a first part, we establish the rigorous derivation of the linear Boltzmann equation without cut-off starting from a particle system interacting via a potential of infinite range starting from a perturbed equilibrium. The second part deals with the passage from a stochastic BGK model with high-field scaling to a scalar conservation law with stochastic forcing. First, we establish the existence of a solution to the considered BGK model. Under an additional assumption, we prove then the convergence to a kinetic formulation associated to the conservation law with stochastic forcing. In the third part, first we quantify in the case of discrete velocities the defect of regularity in the averaging lemmas. Then, we establish a stochastic averaging lemma in that same case. We apply then the result to the context of Rosseland approximation to establish the diffusive limit associated to this model.Finally, we are interested into the numerical study of Uchiyama's model of square particles with four velocities in dimension two. After adapting the methods of simulation which were developed in the case of hard spheres, we carry out a statistical study of the limits at different scales of this model. We reject the hypothesis of a fractional Brownian motion as diffusive limit