Structures réelles sur les surfaces rationnelles

par Mohamed Benzerga

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Frédéric Mangolte.

Soutenue le 02-12-2016

à Angers , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes) , en partenariat avec Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers) (équipe de recherche) et de Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA (laboratoire) .

Le président du jury était Viatcheslav Kharlamov.

Le jury était composé de Frédéric Mangolte, Serge Cantat, Jérémy Blanc, Jean-Philippe Monnier.

Les rapporteurs étaient Julie Déserti, Stéphane Lamy.


  • Résumé

    Le but de cette thèse est d’apporter des éléments de réponse au problème de la finitude du nombre de classes de R-isomorphisme de formes réelles d’une surface rationnelle projective complexe lisse X quelconque, i.e. du nombre de classes d’isomorphisme de R-schémas dont le complexifié est isomorphe à X. Nous étudions ce problème en termes de structures réelles (ou involutions antiholomorphes, généralisant la conjugaison complexe) sur X : l’intérêt de cette approche est qu’elle permet une réécriture du problème faisant intervenir les groupes d’automorphismes de surfaces rationnelles, à travers la cohomologie galoisienne. Grâce à des résultats récents concernant ces groupes et en nous appuyant sur de la géométrie hyperbolique et aussi dans une moindre mesure sur de la dynamique holomorphe et de la géométrie métrique, nous prouvons plusieurs résultats généraux de finitude qui dépassent largement le seul cadre des surfaces de Del Pezzo et peuvent s’appliquer à certaines surfaces rationnelles à grands groupes d’automorphismes.

  • Titre traduit

    Real structures on rational surfaces


  • Résumé

    The aim of this PhD thesis is to give a partial answer to the finiteness problem for R-isomorphism classes of real forms of any smooth projective complex rational surface X, i.e. for the isomorphism classes of R-schemes whose complexification is isomorphic to X. We study this problem in terms of real structures (or antiholomorphic involutions, which generalize complex conjugation) on X: the advantage of this approach is that it helps us rephrasing our problem with automorphism groups of rational surfaces, via Galois cohomology. Thanks to recent results on these automorphism groups, using hyperbolic geometry and, to a lesser extent, holomorphic dynamics and metric geometry, we prove several finiteness results which go further than Del Pezzo surfaces and can apply to some rational surfaces with large automorphism groups.


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