Systèmes dynamiques substitutifs et renormalisation

par Jordan Emme

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pascal Hubert et de Nicolas Bedaride.

Soutenue le 23-11-2016

à Aix-Marseille , dans le cadre de Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Luminy (Marseille) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Valérie Berthé.

Le jury était composé de Sébastien Gouëzel, Jérôme Buzzi, Alexander Bufetov.

Les rapporteurs étaient Fabien Durand, Boris Solomyak.

mots clés

• Systèmes dynamiques
• Théorie ergodique
• Substitutions
• Pavages autosimilaires
• Combinatoire
• Théorie spectrale
• Systèmes dynamiques
• Dynamique topologique
• Théorie spectrale (mathématiques)
• Analyse combinatoire

Résumé

Ce travail de thèse porte sur l'étude de systèmes dynamiques substitutifs. Les substitutions ont historiquement été introduites pour décrire la suite des sommes des chiffres modulo 2 en base 2 . On étudie des propriétés de la suite somme des chiffres et notamment les propriétés des densités asymptotiques d'ensembles liés aux autocorrélations de fonctions arithmétiques définies par les fonctions somme des chiffres. On démontre notamment un théorème de la limite centrale pour ces densités. On étudie également les propriétés de régularité de la fonction de pression dans le cadre du formalisme thermodynamique, introduit par Bowen, Ruelle et Sinaï, pour une famille de potentiels définis en terme de distance à l'attracteur de la substitution de k-bonacci. On démontre la convergence des itérés de l'opérateur de renormalisation introduit par Baraviera, Leplaideur et Lopes vers un point fixe pour cette même famille de potentiels. Enfin, on étudie des propriétés de régularité de certaines mesures spectrales associées à des pavages auto-similaires en s'appuyant sur des travaux de Bufetov et Solomyak portant sur les déviations des sommes ergodiques dans le cas de l'action par translation de \R^d sur les pavages auto-similaires de R^d. On démontre qu'après renormalisation, ces mesures spectrales se comportent comme des mesures de Radon autour de zér

mots clés

• Dynamical systems
• Ergodic theory
• Substitutions
• Self-Similar tilings
• Combinatorics
• Spectral theory

Titre traduit

Substitutive dynamical systems and renormalisation

Résumé

In the present work we study substitutive dynamical systems. Historically, substitutions have been introduced in order to describe the sequence of the sum-of-digits mod 2 in base 2. We study some properties of densities of sets defined by sum-of-digits functions, sets which are linked with autocorrelations of some arithmétic functions. We prove that these densities are usually normally distributed. We also study the regularity of the pressure function in the framework of the thermodynamics formalism, introduced by Bowen, Ruelle and Sinaï, for a family of potentials defined in terms of distance to the attractor of the k-bonacci substitution. We also show that the iterations of the renormalisation operator defined by Baraviera, Leplaideur and Lopes converges towards a fixed point of this operator. Finally we study the regularity of some spectral measures associated to self-similar tilings using mostly works from Bufetov and Solomyak on the deviations of ergodic sums for the action of translations by vectors in R^d on self-similar tilings of R^d. We prove that, afeter renormalisation, these spectral measures behave like Radon measures around