Auteur / Autrice : | Lorick Huang |
Direction : | Stéphane Menozzi |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance en 2015 |
Etablissement(s) : | Sorbonne Paris Cité |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | autre partenaire : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019) |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Premièrement, nous étudions une classe d'équations différentielles stochastiques dirigées par des processus stables (possiblement tempérés), sous des hypothèses de régularité Wilder sur les coefficients. Nous prouvons que le problème de martingale associé est bien posé, établissant ainsi l'unicité faible pour l'EDS. Nous donnons aussi un encadrement de la densité de la solution par celle d'un processus stable (possiblement tempéré). Notre approche est basée sur la méthode parametrix. Dans un second temps, nous considérons une équation différentielle stochastique dégénérée dirigée par un processus stable dont les coefficients satisfont une sorte d'hypothèse de Hôrmander faible. Sous de relativement faibles hypothèses de régularité et des restrictions dimensionnelles, nous prouvons que le problème de martingale est bien posé. Nous donnons également un majorant de la densité reflétant le caractère multi-échelle du processus sous-jacent dans le cas scalaire du stable tempéré. Enfin, nous obtenons un développement pour l'erreur de discrétisation de la cible d'un algorithme stochastique à la suite de [30]. Ceci nous permet de mettre en place une extrapolation de Richardson-Romberg dans le cadre des algorithmes stochastiques, déjà obtenue pour les estimateurs de Monte Carlo linéaires (introduite par Talay et Tubaro [79] et pleinement étudiée dans Pagès [65]) Nous appliquons nos résultats à l'estimation du quantile de la solution d'une EDS dirigée par un processus stable. Les résultats numériques produits à partir de notre méthode montrent une réduction significative de la complexité.