Une classification topologique du type Ramsey des ordinaux dénombrables

par Claribet Piña

Thèse de doctorat en Mathématiques Logique et fondements de l'Informatique

Sous la direction de Stevo Todorčević.

Soutenue en 2015

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris2000-....) , en partenariat avec Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019) (autre partenaire) .

mots clés

• Logique mathématique
• Nombres ordinaux
• Ramsey, Théorie de
• Espaces topologiques
• Ultrafiltres (mathématiques)

Résumé

Dans cette thèse, nous regardons une extension de non premier ordre de la Théorie de Ramsey. Il s'agit d'un domaine qui étend le calcul classique des partitions de Ramsey aux espaces topologiques. Dans le cadre des partitions d'espaces topologiques, les versions topologiques des relations \alpha\rightarrow(\beta)^n_{\mu,\flambda} sont l'objet d'étude. Formellement, étant donnés deux espaces topologiques X et Y, n un nombre entier positif et \lambda< \mu deux cardinaux, une relation de partition, X\rightarrow(\topo\;Y)^n_{ \mu,\lambda} désigne le fait que pour chaqur coloration f:[X]^n\longrightarrow\mu, il existe H\subseteq X homéomorphe à Y tel que f prenne au plus \lambda valeurs dans [H]^n. On a par example obtenu les relations suivantes : \forall 1 >1,\omega^\omega\rightarrow (\topo\,\omega^2+1)^2_{1,7} \forall k,1 >1,\omega^{ \omega^k} \rightarrow (\topo\,\omega^2+1)^2_{1,6} et \forall 1 >1, \ omega^{\omega^omega} \rightarrow ( \topo\, \ omega^2+1)^2_{1,4}.

Titre traduit

A topological Ramsey classification of countable ordinals

Résumé

In this thesis we look a non first-order extension of Ramsey Theory. This is an area which extends the classical Ramsey partition calculus to topological spaces. In partition of topological spaces, the topological versions of the relations \alpha\rightarrow(\beta)^n_{\mu,\lambda} are studied. Formally speaking, given X and Y two topological spaces,. N a positive integer and \lambda<\mu cardinals, a partition relation X\rightarrow(\topo\;Y)^n_{\mu,\lambda} denotes the fact that for every coloring f:[X]^n\longrightarrow \mu, there is H\subseteq X homeomorphic to Y such that f takes at most \lambda values on [H]^n. For example, we obtained the following relations : \forall 1 >1,\omega^\omega\rightarrow (\topo\,\omega^2+1)^2{1,7} \forall k,1>l,\omega^{\omega^k} \rightarrow (\topo\,\omega^2+1)^2_{1,6} et \forall 1 >1,\omega^{ \omega^omega} \rightarrow (\topo\,\omega^2+1)^2_{1,4}.