W-entropy formulas on super ricci flows and matrix dirichlet processes

par Songzi Li

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Dominique Bakry et de Jiangang Ying.

Soutenue en 2015

à Toulouse 3 .

mots clés

• Super flot de Ricci
• Condition de courbure-dimension
• Inégaliés de Sobolev logarithmique
• W-entropie
• Algèbre d'octonions
• Mouvement Brownien de Dyson
• Processus de Dirichlet mariciels
• Entropie maximale, Méthode d' -- Thèses et écrits académiques
• Ricci, Flot de -- Thèses et écrits académiques
• Mouvement brownien, Processus de -- Thèses et écrits académiques
• Dirichlet, Principe de -- Thèses et écrits académiques

Titre traduit

Formules de W-entropies sur les super flots de Ricci et processus de Dirichlet matriciels

Résumé

Cette thèse se compose de 5 parties reliées entre elles. Dans la première, nous démontrons des inégalités de Harnack et de Sobolev logarithmiques pour le semigroupe de la chaleur associé au laplacien de Witten du K-super flot de Ricci et du (K,m) super flot de Ricci. Dans la seconde, nous introduisons la W-entropie, pour laquelle nous démontrons une formule variationnelle et sa monotonicité le long du flot. Dans la troisième, nous introduisons la déformation de Langevin des flots géométriques sur l'espace de Wasserstein au dessus d'une variété Riemanienne compacte, qui interpole entre le flot géodésique et le flot de gradient sur l'espace de Wasserstein. Nous démontrons ainsi une formule de W-entropie. Dans la quatrième, nous étudions le mouvement Brownien de Dyson sur l'algèbre des octonions, et donnons deux modèles où ce mouvement existe, ce qui permet de déterminer à la fois la mesure invariante et la multiplicité des valeurs propres. Enfin, dans la cinquième partie, nous introduisons les processus sur le simplexe matriciel (les processus de Dirichlet matriciels), et donnons une description de modèles polynomiaux sur ce simplexe matriciel qui admettent les mesures de Dirichlet matricielles comme mesure invariante.

Résumé

This PhD thesis consists of five parts, which are closely related. In part 1, we prove the Harnack inequality and the logarithmic Sobolev inequalities for the heat semigroup of the Witten Laplacian on the K-super Ricci flows and the (K, m)-super Ricci flows. In part 2, we introduce the W-entropy for the heat equation of the weighted Laplacian on the K-super Ricci flows and the (K, m)-super Ricci flows, and prove its variational formula and monotonicity property. In part 3, we introduce the Langevin deformation of geometric flows on the Wasserstein space over ompact Riemannian manifolds, which interpolate the geodesic flow and the gradient flows on the Wasserstein space. The W-entropy formula has been proved. In part 4, we study the Dyson Brownian motion on the octonion algebra, and give two specific models on which the invariant measure and the algebraic multiplicity can be determined. In part 5, we introduce the matrix Dirichlet distribution as their invariant measure.