Automorphismes des variétés de Kummer généralisées

Automorphisms of generalized Kummer varieties

• Auteur / Autrice : Kévin Tari
• Direction : Samuel Boissière
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/12/2015
• Etablissement(s) : Poitiers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers)
• Partenaire(s) de recherche : faculte : Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées
• Jury : Président / Présidente : Dimitri Markouchevitch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Samuel Boissière, Alessandra Sarti, Anne Moreau, Gilberto Bini
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dimitri Markouchevitch, Marc Nieper-Wisskirchen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Isométrie (mathématiques)

Réseaux (mathématiques)

Théorème de Torelli

Automorphismes

Variétés complexes

Mots clés libres

Géométrie algébrique complexe

Variétés symplectiques holomorphes

Variétés de Kummer généralisées

Schémas de Hilbert de points sur les surfaces K3

Automorphismes

Automorphismes naturels

Théorème de Torelli

Surfaces abéliennes

Théorie des réseaux

Isométries

Complex algebraic geometry

Holomorphic symplectic varieties

Generalized Kummer varieties

Hilbert schemes of points on K3 surfaces

Automorphisms

Natural automorphisms

Torelli thoerem

Abelian surfaces

Lattice theory

Isometries

Résumé

Dans ce travail, nous classifions les automorphismes non-symplectiques des variétés équivalentes par déformations à des variétés de Kummer généralisées de dimension 4, ayant une action d'ordre premier sur le réseau de Beauville-Bogomolov. Dans un premier temps, nous donnons les lieux fixes des automorphismes naturels de cette forme. Par la suite, nous développons des outils sur les réseaux en vue de les appliquer à nos variétés. Une étude réticulaire des tores complexes de dimension 2 permet de mieux comprendre les automorphismes naturels sur les variétés de type Kummer. Nous classifions finalement tous les automorphismes décrits précédemment sur ces variétés. En application de nos résultats sur les réseaux, nous complétons également la classification des automorphismes d'ordre premier sur les variétés équivalentes par déformations à des schémas de Hilbert de 2 points sur des surfaces K3, en traitant le cas de l'ordre 5 qui restait ouvert.

Ln this work, we classify non-symplectic automorphisms of varieties deformation equivalent to 4-dimensional generalized Kummer varieties, having a prime order action on the Beauville-Bogomolov lattice. Firstly, we give the fixed loci of natural automorphisms of this kind. Thereafter, we develop tools on lattices, in order to apply them to our varieties. A lattice-theoritic study of 2-dimensional complex tori allows a better understanding of natural automorphisms of Kummer-type varieties. Finaly, we classify all the automorphisms described above on thos varieties. As an application of our results on lattices, we complete also the classification of prime order automorphisms on varieties deformation-equivalent to Hilbert schemes of 2 points on K3 surfaces, solving the case of order 5 which was still open.