Processus de Fleming-Viot, distributions quasi-stationnaires et marches aléatoires en interaction de type champ moyen

Fleming-Viot process, quasi-stationary distributions and random walks in mean field type interaction

• Auteur / Autrice : Anh-Thi Marie Noémie Thai
• Direction : Djalil Chafaï
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/11/2015
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - LAMA
• Jury : Président / Présidente : Ellen Saada
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Djalil Chafaï, Mohamed-Amine Asselah, Jean-François Delmas
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Champagnat, Vincent Bansaye

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chaos (théorie des systèmes)

Théorie ergodique

Marches aléatoires (mathématiques)

Markov, Processus de

Mots clés libres

Processus de Fleming-Viot

Distribution quasi-Stationnaire

Interaction de type champ moyen

Propagation du chaos

Marche aléatoire

Couplage

Fleming-Viot process

Quasi-Stationary distribution

Mean field type interaction

Propagation of chaos

Random walk

Coupling

Résumé

Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique de systèmes de particules en interaction de type champ moyen en espace discret, systèmes pour lesquels l'interaction a lieu par l'intermédiaire de la mesure empirique. Dans la première partie de ce mémoire, nous nous intéressons aux systèmes de particules de type Fleming-Viot: les particules se déplacent indépendamment suivant une dynamique markovienne jusqu'au moment où l'une d'entre elles touche un état absorbant. A cet instant, la particule absorbée choisit uniformément une autre particule et saute sur sa position. L'ergodicité du processus est établie dans le cadre de marches aléatoires sur N avec dérive vers l'origine et pour une dynamique proche de celle du graphe complet. Pour ce dernier, nous obtenons une estimation quantitative de la convergence en temps long à l'aide de la courbure de Wasserstein. Nous montrons de plus la convergence de la distribution empirique stationnaire vers une unique distribution quasi-stationnaire, quand le nombre de particules tend vers l'infini. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous nous intéressons au comportement en temps long et quand le nombre de particules devient grand, d'un système de processus de naissance et mort pour lequel les particules interagissent à chaque instant par le biais de la moyenne de leurs positions. Nous établissons l'existence d'une limite macroscopique, solution d'une équation non linéaire ainsi que le phénomène de propagation du chaos avec une estimation quantitative et uniforme en temps

In this thesis we study the asymptotic behavior of particle systems in mean field type interaction in discrete space, where the system acts over one fixed particle through the empirical measure of the system. In the first part of this thesis, we are interested in Fleming-Viot particle systems: the particles move independently of each other until one of them reaches an absorbing state. At this time, the absorbed particle jumps instantly to the position of one of the other particles, chosen uniformly at random. The ergodicity of the process is established in the case of random walks on N with a dirft towards the origin and on complete graph dynamics. For the latter, we obtain a quantitative estimate of the convergence described by the Wasserstein curvature. Moreover, under the invariant measure, we show the convergence of the empirical measure towards the unique quasi-stationary distribution as the size of the system tends to infinity. In the second part of this thesis, we study the behavior in large time and when the number of particles is large of a system of birth and death processes where at each time a particle interacts with the others through the mean of theirs positions. We establish the existence of a macroscopic limit, solution of a non linear equation and the propagation of chaos phenomenon with quantitative and uniform in time estimate