Propriétés métriques des ensembles de niveau des applications différentiables sur les groupes de Carnot

Metric properties of level sets of differentiable maps on Carnot groups

• Auteur / Autrice : Artem Kozhevnikov
• Direction : Pierre Pansu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/05/2015
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Guy David
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Pansu, Guy David, Bruno Franchi, Hervé Pajot, Serguei Konstantinovich Vodopyanov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Franchi, Hervé Pajot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupe de Heisenberg

Groupes de Carnot

Topologie de l'espace métrique

Mots clés libres

Géométrie sous-riemannienne

Groupes de Carnot

Théorème des fonctions implicites

Cônes tangents

Condition de platitude de Reifenberg

Graphes lipschitziens

Dimension de Hausdorff

Formule de l'aire

Intégral de Stieltjes

Théorie de chemins rugueux

Sub-Riemannian geometry

Carnot groups

Implicit function theorem

Tangent cones

Reifenberg flatness condition

Lipschitz graphs

Hausdorff dimension

Area formula

Stieltjes integral

Rough path theory

Résumé

Nous étudions les propriétés métriques locales des ensembles de niveau des applications horizontalement différentiables entre des groupes de Carnot, c'est-à-dire différentiable par rapport à la structure sous-riemannienne intrinsèque. Nous considérons des applications dont la différentielle horizontale est surjective, et notre étude peut être vue comme une généralisation du théorème des fonctions implicites pour les groupes de Carnot. Tout d'abord, nous présentons deux notions de tangence dans les groupes de Carnot: la première basée sur la condition de platitude au sens de Reifenberg et la deuxième issue de l'analyse convexe classique. Nous montrons que dans les deux cas, l'espace tangent à un ensemble de niveau coïncide avec le noyau de la différentielle horizontale. Nous montrons que cette condition de tangence caractérise en fait les ensembles de niveau dits ‘co-abéliens', c'est-à-dire ceux pour lesquels l'espace d'arrivée est abélien, et qu'une telle caractérisation n'est pas vraie en général. Ce résultat sur les espaces tangents a plusieurs conséquences remarquables. La plus importante est que la dimension de Hausdorff des ensembles de niveau est celle à laquelle l'on s'attend. Nous montrons également la connectivité locale des ensembles de niveau, et le fait que les ensembles de niveau de dimension 1 sont topologiquement des arcs simples. Pour les ensembles de niveau de dimension 1 nous trouvons une formule de l'aire qui permet d'exprimer la mesure de Hausdorff en termes d'intégrales de Stieltjes généralisées. Ensuite, nous menons une étude approfondie du cas particulier des ensembles de niveau dans les groupes d'Heisenberg. Nous montrons que les ensembles de niveau sont topologiquement équivalents à leurs espaces tangents. Il s'avère que la mesure de Hausdorff des ensembles de niveau de codimension élevée est souvent irrégulière, étant, par exemple, localement nulle ou infinie. Nous présentons une condition simple de régularité supplémentaire pour une application pour assurer la régularité au sens d'Ahlfors des ses ensembles de niveau. Parmi d'autres résultats, nous obtenons une nouvelle caractérisation générale des graphes Lipschitziens associés à une décomposition en produit semi-direct d'un groupe de Carnot. Nous traitons, en particulier, le cas des groupes de Carnot dont le nombre de strates est plus grand que 2. Cette caractérisation nous permet de déduire une nouvelle caractérisation des ensembles de niveau co-abéliens qui admettent une représentation en tant que graphe.

We investigate the local metric properties of level sets of mappings defined between Carnot groups that are horizontally differentiable, i.e. with respect to the intrinsic sub-Riemannian structure. We focus on level sets of mapping having a surjective differential, thus, our study can be seen as an extension of implicit function theorem for Carnot groups. First, we present two notions of tangency in Carnot groups: one based on Reifenberg's flatness condition and another coming from classical convex analysis. We show that for both notions, the tangents to level sets coincide with the kernels of horizontal differentials. Furthermore, we show that this kind of tangency characterizes the level sets called ``co-abelian'', i.e. for which the target space is abelian andthat such a characterization may fail in general. This tangency result has several remarkable consequences. The most important one is that the Hausdorff dimension of the level sets is the expected one. We also show the local connectivity of level sets and, the fact that level sets of dimension one are topologically simple arcs. Again for dimension one level set, we find an area formula that enables us to compute the Hausdorff measure in terms of generalized Stieltjes integrals. Next, we study deeply a particular case of level sets in Heisenberg groups. We show that the level sets in this case are topologically equivalent to their tangents. It turns out that the Hausdorff measure of high-codimensional level sets behaves wildly, for instance, it may be zero or infinite. We provide a simple sufficient extra regularity condition on mappings that insures Ahlfors regularity of level sets. Among other results, we obtain a new general characterization of Lipschitz graphs associated witha semi-direct splitting of a Carnot group of arbitrary step. We use this characterization to derive a new characterization of co-ablian level sets that can be represented as graphs.