Comparaison de deux méthodes d’éléments spectraux avec joints pour les équations de Darcy

The comparison between two mortar spectral element methods for Darcy’s equations

• Auteur / Autrice : Kangzheng Xing
• Direction : Christine Bernardi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 10/11/2015
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Yvon Maday
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Francesca Rapetti, Adel Blouza, Faker Ben Belgacem
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Florence Hubert, Mejdi Azaïez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écoulement en milieux poreux

Théorie spectrale (mathématiques)

Équations de Darcy Brinkman Forchheimer

Mots clés libres

Milieu poreux

Équations de Darcy

Éléments spectraux avec joints

Estimation d'erreur

Décomposition de domaine

Méthode spectrale

Porous medium

Darcy's equations

Spectral method

Résumé

Nous parlons essentiellement dans cette thèse la simulation numérique par la méthode spectrale de l'écoulement stable dans un milieu poreux rigide qui est simulé par les équations de Darcy avec des conditions aux limites générales. La méthode s'avère optimale en ce sens que l'erreur obtenue n'est limitée que par la régularité de la fonction. Un des paramètres dépend de la perméabilité du milieu et, lorsqu'il n'est pas homogène, les variations de ce paramètre peuvent être extrêmement importantes. Pour traiter ce phénomène, nous proposons deux discrétisation différente par éléments spectraux avec joints. Nous donnons des estimations a priori de l'erreur et nous confirmons l'étude théorique par des résultats numériques. En outre, nous développons une Lagendre-Petrov-Galerkin méthode pour l'équations différentielles linéaires du 4ème ordre à une dimension, et un Legendre Petrov-Galerkin et Chebyshev collocation méthode pour l'équation non linéaire Kuramoto-Sivashinsky. Nous effectuons l'analyse a priori de cette discrétisation et présentons quelques expériences numériques qui confirment les résultats de l'analyse.

We mainly talk about in this thesis the numerical simulation of the steady flow in a rigid porous medium which is simulated by Darcy's equations with general boundary conditions, by spectral method. The method has been proven optimal in the sense that the order of convergence is only limited by the regularity of the solution. One of the parameters of the system depends on the permeability of the medium and, when this one is not homogeneous, the variations of the parameter could be very high. To handle this phenomenon, we propose two different discretization relies on the mortar spectral method. Both the numerical analysis of the discretization problems are performed and numerical experiments are presented, which turn out to be in good coherency with the theoretical results. In addition, we develop a Legendre Petrov-Galekin method for linear fourth-order differential equations in one dimension and Legendre Petrov-Galerkin and Chebyshev collocation method for the nonlinear Kuramoto-Sivashinsky equation. The numerical experiments are given which demonstrate the efficient of proposed schemes. Finally, we give the optimal rate of convergence [...]