Théorie d’intersection tropicale, et points d’inflexion réels des courbes algébriques réelles

Tropical intersection theory, and real inflection points of real algebraic curves

• Auteur / Autrice : Cristhian Emmanuel Garay-Lopez
• Direction : Erwan Brugallé, Jean-Jacques Risler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/09/2015
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ilia Itenberg, Jean-Philippe Monnier, Omid Amini, Viatcheslav Kharlamov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Géométrie tropicale

Mots clés libres

Intersection tropicale

Courbes algébriques réelles

Points d'inflexion réels

Systèmes linéaires réels

Géométrie tropicale

Géométrie algébrique réelle

Tropical geometry

Real inflection points

Résumé

Cette thèse est divisée en deux parties principales. D’abord on étudie des relations entre les théories d’intersection en géométrie tropicale et géométrie algébrique. Puis on étudie la question des possibilités pour la distribution de points d’inflexion réels associés à un système linéaire réel défini sur une courbe algébrique réelle lisse. Dans la première partie, nous présentons des nouveaux résultats reliant les théories d’intersection algébrique et tropicale dans une variété algébrique très affine définie sur un corps non-archimédien particulier (dit corps de Mal’cev-Neumann). Le résultat principale concerne l’intersection d’un cycle algébrique de dimension 1 dans une variété à tropicalisation simple avec un diviseur de Cartier. Dans la deuxième partie, nous obtenons d’abord une caractérisation de la répartition des points d’inflexion réels d’un système linéaire complet de degré d>1 sur une courbe elliptique réelle lisse. Puis nous étudions quelques courbes réelles non-hyperelliptiques canoniques de genre 4 dans l’espace projectif de dimension 3. Nous obtenons une formule qui relie le nombre de points de Weierstrass réels d’une telle courbe avec la caractéristique d’Euler-Poincaré d’un certain espace topologique. Finalement, en utilisant la technique du Patchworking (dû à O. Viro), on construit un exemple de courbe réelle, lisse, non-hyperelliptique de genre 4 ayant 30 points de Weierstrass réels.

This thesis is divided in two main parts. First, we study the relationships between intersection theories in tropical and algebraic geometry. Then, we study the question of the possibilities for the distribution of the real inflection points associated to a real linear system defined on a smooth real algebraic curve. In the first part, we present new results linking algebraic and tropical intersection theories over a very-affine algebraic variety defined over a particular non-Archimedean field (known as Mal’cev-Newmann field). The main result concerns the intersection of a one-dimensional algebraic cycle with a Cartier divisor in a variety with simple tropicalization. In the second part, we obtain first a characterization of the distribution of real inflection points associated to a real complete linear system of degree d>1 defined over a smooth real elliptic curve. Then we study some canonical, non-hyperelliptic real algebraic curves of genus 4 in a 3-dimensional projective space. We obtain a formule that relies the amount of real Weierstrass points of such a curve with the Euler-Poincaré characteristic of certain topological space. Finally, using O. Viro’s Patch-working technique, we construct an example of a smooth, non-hyperelliptic real algebraic curve of genus 4 having 30 real Weierstrass points.