Tests d’indépendance par bootstrap et permutation : étude asymptotique et non-asymptotique. Application en neurosciences

Tests of independence by bootstrap and permutation : an asymptotic and non-asymptotic study. Application to neurosciences.

• Auteur / Autrice : Mélisande Albert
• Direction : Patricia Reynaud-Bouret, Magalie Fromont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/11/2015
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Patrice Bertail
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Magalie Fromont, Patrice Bertail, Gilles Blanchard, Robert E. Kass, Sylvain Arlot, Jean-François Coeurjolly, Oleg V. Lepski
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gilles Blanchard, Robert E. Kass

Mots clés

Mots clés contrôlés

Besov, Espaces de

Ondelettes

Synchronisation

Neurosciences

Statistique U

Permutations (mathématiques)

Bootstrap (statistique)

Mots clés libres

Test d'indépendance

Bootstrap

Permutation

U-statistiques

Processus ponctuel

Neurosciences

Synchronisation

Tests multiples

Inégalité de concentration

Vitesse de séparation uniforme

Test adaptatif

Ondelettes

Espace de Besov faible

Tests agrégés

Independence test

Bootstrap

Permutation

U-statistics

Point processes

Neroscience

Synchronization

Multiple testing

Concentration inequality

Uniform separation rate

Adaptative test

Wavelets

Weak Besov body

Aggregated tests

Résumé

Premièrement, nous construisons de tels tests basés sur des approches par bootstrap ou par permutation, et étudions leurs propriétés asymptotiques dans un cadre de processus ponctuels, à travers l'étude du comportement asymptotique des lois conditionnelles des statistiques de test bootstrappée et permutée, sous l'hypothèse nulle ainsi que toute alternative. Nous les validons en pratique par simulation et les comparons à des méthodes classiques en neurosciences. Ensuite, nous nous concentrons sur les tests par permutation, connus pour contrôler non-asymptotiquement leur niveau. Les p-valeurs basées sur la notion de coïncidences avec délai, sont implémentées dans une procédure de tests multiples, appelée méthode Permutation Unitary Events, pour détecter les synchronisations entre deux neurones. Nous validons la méthode par simulation avant de l'appliquer à de vraies données. Deuxièmement, nous étudions les propriétés non-asymptotiques des tests par permutation en termes de vitesse de séparation uniforme. Nous construisons une procédure de tests agrégés, basée sur du seuillage par ondelettes dans un cadre de variables aléatoires à densité. Nous déduisons d'une inégalité fondamentale de Talagrand, une nouvelle inégalité de concentration de type Bernstein pour des sommes permutées aléatoirement qui nous permet de majorer la vitesse de séparation uniforme sur des espaces de Besov faibles et d'en déduire que cette procédure semble être optimale et adaptative au sens du minimax.

On the one hand, we construct such tests based on bootstrap and permutation approaches. Their asymptotic performance are studied in a point process framework through the analysis of the asymptotic behavior of the conditional distributions of both bootstrapped and permuted test statistics, under the null hypothesis as well as under any alternative. A simulation study is performed verifying the usability of these tests in practice, and comparing them to existing classical methods in Neuroscience. We then focus on the permutation tests, well known for their non-asymptotic level properties. Their p-values, based on the delayed coincidence count, are implemented in a multiple testing procedure, called Permutation Unitary Events method, to detect the synchronization occurrences between two neurons. The practical validity of the method is verified on a simulation study before being applied on real data. On the other hand, the non-asymptotic performances of the permutation tests are studied in terms of uniform separation rates. A new aggregated procedure based on a wavelet thresholding method is developed in the density framework. Based on Talagrand's fundamental inequalities, we provide a new Bernstein-type concentration inequality for randomly permuted sums. In particular, it allows us to upper bound the uniform separation rate of the aggregated procedure over weak Besov spaces and deduce that this procedure seems to be optimal and adaptive in the minimax sens.