Structures produits sur la filtration par le poids des variétés algébriques réelles

Product structures on the weight filtration of real algebraic varieties

• Auteur / Autrice : Thierry Limoges
• Direction : Adam Parusiński, Goulwen Fichou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/03/2015
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Philippe Maisonobe
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Adam Parusiński, Goulwen Fichou, Philippe Maisonobe, David Chautaur, Clint McCrory, Krzysztof Kurdyka, Fabien Priziac
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Chautaur, Clint McCrory

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dualité, Principe de (mathématiques)

Invariants

Cohomologie

Filtres numériques (mathématiques)

Variétés algébriques

Mots clés libres

Variétés algébriques réelles

Filtrations par le poids

Cohomologie à supports compacts

Invariants

Produit cartésien

Produits cup et cap

Dualité de Poincaré

Real algebraic varieties

Weight filtrations

Cohomology with compact supports

Invariants

Cross product

Cup and cap products

Poincaré duality

Résumé

On associe à chaque variété algébrique définie sur R un complexe de cochaînes filtré, qui calcule la cohomologie à supports compacts et coefficients dans Z_2 de ses points réels. Ce complexe filtré est additif pour les inclusions fermées et acyclique pour la résolution des singularités, et est unique à quasi-isomorphisme filtré près. Il est représenté par la filtration duale de la filtration géométrique sur les chaînes semi-algébriques à supports fermés définie par McCrory and Parusiński, et induit une suite spectrale qui calcule la filtration par le poids sur la cohomologie à supports compacts. Cette suite spectrale est un invariant naturel qui contient les nombres de Betti virtuels. On montre que le produit cartésien de deux variétés nous permet de comparer le produit de leurs complexe de poids et suite spectrale respectifs avec ceux du produit, et on prouve que les produits cap et cup en cohomologie et homologie sont filtrés par rapport à ces filtrations par le poids réelles.

We associate to each algebraic variety defined over R a filtered cochain complex, which computes the cohomology with compact supports and Z_2-coefficients of the set of its real points. This filtered complex is additive for closed inclusions and acyclic for resolution of singularities, and is unique up to filtered quasi-isomorphism. It is represented by the dual filtration of the geometric filtration on semialgebraic chains with closed supports defined by McCrory and Parusiński, and leads to a spectral sequence which computes the weight filtration on cohomology with compact supports. This spectral sequence is a natural invariant which contains the additive virtual Betti numbers. We then show that the cross product of two varieties allows us to compare the product of their respective weight complexes and spectral sequences with those of their product, and prove that the cup and cap products in cohomology and homology are filtered with respect to the real weight filtrations.