Algorithmes pour la factorisation d'entiers et le calcul de logarithme discret

Algorithms for integer factorization and discrete logarithms computation

• Auteur / Autrice : Cyril Bouvier
• Direction : Paul Zimmermann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 22/06/2015
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire lorrain de recherche en informatique et ses applications
• Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Couveignes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nadia Heninger, Pierre-Etienne Moreau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Hanrot, Reynald Lercier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul formel

Factorisation

Polynômes

Corps finis

Logarithmes

Algorithmes

Mots clés libres

Algorithme

Factorisation

Logarithme discret

Corps fini

Courbe elliptique

Corps de nombre

Sélection polynomiale

Étape de filtrage

ECM

NFS

NFS-Dl

FFS

Algorithm

Factorization

Discrete logarithm

Finite field

Elliptic curve

Number field

Polynomial selection

Filtering step

ECM

NFS

NFS-Dl

FFS

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les problèmes de la factorisation d'entier et de calcul de logarithme discret dans les corps finis. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l'algorithme de factorisation d'entier ECM et présentons une méthode pour analyser les courbes elliptiques utilisées dans cet algorithme en étudiant les propriétés galoisiennes des polynômes de division. Ensuite, nous présentons en détail l'algorithme de factorisation d'entier NFS, et nous nous intéressons en particulier à l'étape de sélection polynomiale pour laquelle des améliorations d'algorithmes existants sont proposées. Puis, nous présentons les algorithmes NFS-DL et FFS pour le calcul de logarithme discret dans les corps finis. Nous donnons aussi des détails sur deux calculs de logarithme discret effectués durant cette thèse, l'un avec NFS-DL et l'autre avec FFS. Enfin, nous étudions une étape commune à l'algorithme NFS pour la factorisation et aux algorithmes NFS-DL et FFS pour le calcul de logarithme discret: l'étape de filtrage. Nous l'étudions en détail et nous présentons une amélioration dont nous validons l'impact en utilisant des données provenant de plusieurs calculs de factorisation et de logarithme discret

In this thesis, we study the problems of integer factorization and discrete logarithm computation in finite fields. First, we study the ECM algorithm for integer factorization and present a method to analyze the elliptic curves used in this algorithm by studying the Galois properties of division polynomials. Then, we present in detail the NFS algorithm for integer factorization and we study in particular the polynomial selection step for which we propose improvements of existing algorithms. Next, we present two algorithms for computing discrete logarithms in finite fields: NFS-DL and FFS. We also give some details of two computations of discrete logarithms carried out during this thesis, one with NFS-DL and the other with FFS. Finally, we study a common step of the NFS algorithm for integer factorization and the NFS-DL and FFS algorithms for discrete logarithm computations: the filtering step. We study this step thoroughly and present an improvement for which we study the impact using data from several computations of discrete logarithms and factorizations