Réduction Formelle des systèmes différentiels linéaires singuliers : Systèmes différentiels linéaires singulièrement perturbés et systèmes de Pfaff complètement intégrables à croisements normaux
Auteur / Autrice : | Sumayya Suzy Maddah |
Direction : | Moulay Abdelfattah Barkatou |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques et applications |
Date : | Soutenance le 25/09/2015 |
Etablissement(s) : | Limoges |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : XLIM |
Jury : | Examinateurs / Examinatrices : George Labahn, Reinhard Schäfke, Nobuki Takayama, Frédéric Chyzak, Carole El Bacha, Jorge Mozo Fernández, Hassan Abbas, Ali Wehbe |
Rapporteurs / Rapporteuses : George Labahn, Reinhard Schäfke, Nobuki Takayama |
Mots clés
Résumé
Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l'analyse locale de systèmes différentiels linéaires singulièrement perturbés et de systèmes de Pfaff complètement intégrables et multivariés à croisements normaux. De tels systèmes ont une vaste littérature et se retrouvent dans de nombreuses applications. Cependant, leur résolution symbolique est toujours à l'étude. Nos approches reposent sur l'état de l'art de la réduction formelle des systèmes linéaires singuliers d'équations différentielles ordinaires univariées (ODS). Dans le cas des systèmes différentiels linéaires singulièrement perturbés, les complications surviennent essentiellement à cause du phénomène des points tournants. Nous généralisons les notions et les algorithmes introduits pour le traitement des ODS afin de construire des solutions formelles. Les algorithmes sous-jacents sont également autonomes (par exemple la réduction de rang, la classification de la singularité, le calcul de l'indice de restriction). Dans le cas des systèmes de Pfaff, les complications proviennent de l'interdépendance des multiples sous-systèmes et de leur nature multivariée. Néanmoins, nous montrons que les invariants formels de ces systèmes peuvent être récupérés à partir d'un ODS associé, ce qui limite donc le calcul à des corps univariés. De plus, nous donnons un algorithme de réduction de rang et nous discutons des obstacles rencontrés. Outre ces deux systèmes, nous parlons des singularités apparentes des systèmes différentiels univariés dont les coefficients sont des fonctions rationnelles et du problème des valeurs propres perturbées. Les techniques développées au sein de cette thèse facilitent les généralisations d'autres algorithmes disponibles pour les systèmes différentiels univariés aux cas des systèmes bivariés ou multivariés, et aussi aux systèmes d''equations fonctionnelles.