Contributions aux équations d'évolutions non locales en espace-temps

Contributions to non local evolution equations in space-time

• Auteur / Autrice : Ihab Dannawi
• Direction : Mokhtar Kirane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/09/2015
• Etablissement(s) : La Rochelle
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Mathématiques, Image et Applications (La Rochelle)
• Jury : Président / Présidente : Alain Miranville
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mokhtar Kirane, Alain Miranville, Vincenzo Vespri, Mohammed Guedda, Arnaud Rougirel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincenzo Vespri, Mohammed Guedda

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Laplacien

Cauchy, Problème de

Schrödinger, Équation de

Équations d'évolution non linéaires

Mots clés libres

Equations de Schrödinger

Explosion en temps fini

Laplacien Fractionnaire

Equation d'onde amortie non linéaire

Exposant sous critique

Problème de Cauchy

Equation de p-Laplacien

Existence locale

Non existence globale

Equation hyperpolique

Solutions douces et faibles

Estimation de Strichartz

Les dérivées et les intégrales fractionnaires de Riemann-Liouville

Schrödinger equations

Blow-up

Fractional Laplacian

Nonlinear damped wave equation

Subcritical potential

Cauchy problem

P-Laplacian equation

Local existence

Global nonexistence

Hyperbolic equation

Mild and weak solutions

Strichartz estimate

Riemann- Liouville fractional integrals and derivatives

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps.

In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term.