Méthodes de domaines fictifs pour les éléments finis, application à la mécanique des structures

Fictitious domain methods for finite element methods, application to structural mechanics

• Auteur / Autrice : Mathieu Fabre
• Direction : Jérôme Pousin, Yves Renard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 10/07/2015
• Etablissement(s) : Lyon, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) - Institut Camille Jordan / ICJ
• Jury : Président / Présidente : Marco Picasso
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Pousin, Yves Renard, Marco Picasso, Zakaria Belhachmi, Serge Nicaise, Franz Chouly, Olivier Pantz
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Zakaria Belhachmi, Serge Nicaise

Mots clés

Mots clés contrôlés

Frottement

Modèles mathématiques

Analyse numérique

Mots clés libres

Mathématiques

Analyse numérique

Méthodes des éléments finis

Méthode de domaine fictif

Problème unilatéral de contact

Frottement

Numerical analysis

Finite element methods

Method of fictitious domain

Unilateral contact problem

Error Estimation

Friction

Mathematical

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de méthodes de domaines fictifs pour les éléments finis. Ces méthodes, initialement conçues pour l’approximation de problèmes d’interactions fluide/structure, consistent à prolonger un domaine réel par un domaine de géométrie simple appelé domaine fictif. On applique ces méthodes à un problème de contact unilatéral sans frottement en petite déformation entre deux corps élastiques séparés par une distance initiale non nulle et possédant par ailleurs des conditions aux bords de type Dirichlet et Neumann. Les deux premiers chapitres sont consacrés à l’introduction des méthodes de domaines fictifs et du problème unilatéral de contact de deux corps élastiques. Le chapitre 3 est consacré à l’analyse a priori et à l’étude numérique de ce problème de contact en domaine fictif avec les conditions aux bords de Dirichlet et de contact qui sont prises en compte à l’aide d’une méthode de type Nitsche. Des résultats théoriques de consistance de la méthode discrète, d’existence et d’unicité sont présentés. Afin d’obtenir une estimation d’erreur a priori optimale, une stabilisation de la méthode de domaine fictif est nécessaire. Ces résultats sont validés numériquement sur des cas tests en dimensions deux et trois. Le chapitre 4 est consacré à l’étude d’un estimateur d’erreur de type résidu d’un problème de contact sans domaine fictif entre un corps élastique et un corps rigide. Les résultats théoriques sont également validés sur deux cas tests numériques : un domaine rectangulaire avec seulement une partie de la zone de contact en contact effectif ainsi qu’un contact de type Hertz en dimensions deux et trois. Le chapitre 5 est une généralisation du chapitre 4 à l’approche domaine fictif et au cas de deux corps élastiques.

This thesis is dedicated to the study of the fictitious domain methods for the finite element methods. These methods, initially designed for the fluid-structure interaction, consist in immersing the real domain in a simply-shaped and a geometrically bigger domain called the fictitious domain. We apply these methods to a unilateral frictionless contact problem in small deformation of two deformable elastics bodies separated by an initial gap and satisfying boundary Dirichlet and Neumann conditions. The first two chapters are devoted to the introduction of these methods and to the unilateral contact problem. The chapter 3 is dedicated to a theoretical study for Dirichlet and contact boundary conditions taken into account with a Nitsche type method. Some theoretical results are presented: the consistency of the discrete method, existence and uniqueness results. To obtain an optimal a priori error estimate, a stabilized fictitious domain method is necessary. These results are numerically validated using Hertz contact in two and three dimensions. The chapter 4 is devoted to the study of a residual-based a posteriori error estimator, without the fictitious domain approach, between an elastic body and rigid obstacle. The numerical study of two tests cases will be performed: a rectangular domain with only a part of the potential zone of contact in effective contact as well as a Hertz contact in two and three dimensions. The chapter 5 is a generalization of the chapter 4 to the fictitious domain approach and the care of to two elastics bodies.