Extensions de la superposition pour l'arithmétique linéaire entière l'induction structurell, et bien plus encore

Extending superposition with integer arithmetic structural induction and beyond

• Auteur / Autrice : Simon Cruanes
• Direction : Gilles Dowek, Guillaume Burel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Peltier, Stéphane Lengrand, Sylvain Conchon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stephan Schulz, Uwe Waldmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes informatiques

Théorèmes -- Démonstration automatique

Résumé

Le concept central de théorème désigne une assertion justifiée par un argument irréfutable agencé selon des règles formelles, qu'on appelle une preuve. Prouver des théorèmes est utile à la fois en Informatique et en Mathématiques. Cependant, beaucoup de théorèmes utiles, tels que ceux engendrés par la vérification formelle qu'un programme respecte une spécification, sont trop pénibles et inintéressants pour mériter l'attention d'experts humains; plusieurs décennies de recherches ont donc été consacrées au domaine de la démonstration automatique. La Superposition est une technique efficace permettant de prouver les théorèmes exprimés en logique du premier ordre avec égalité (en bref, la capacité de remplacer mutuellement deux objets égaux dans n'importe quelle expression). Pourtant, la Superposition montre ses limites dans beaucoup de cas où des théories spécifiques ou du raisonnement par récurrence sont nécessaires. Dans cette thèse, nous développons de nouvelles extensions à la Superposition; nous soutenons que cette dernière se prête bien à l'ajout de règles d'inférence et de mécanismes de raisonnement supplémentaires. Tout d'abord, nous développons un système d'inférence qui donne à la Superposition les moyens de raisonner dans l'arithmétique linéaire entière, une théorie activement utilisée et étudiée dans d'autres domaines de la preuve automatique tels que SMT (Satisfiabilité Modulo Théories). L'arithmétique peut également permettre des encodages vers la logique du premier ordre plus efficaces pour les structures discrètes totalement ordonnées, par exemple, la logique temporelle. Nous définissons ensuite un mécanisme permettant aux prouveurs fondés sur la Superposition de raisonner par récurrence sur des types algébriques (naturels, listes, arbres binaires, etc. ) Le raisonnement par récurrence est très courant en Mathématiques et en Informatique, mais son intégration dans les systèmes de preuve dédiés à la logique du premier ordre a été peu étudiée. Enfin, nous présentons un système de détections de théories axiomatiques capable de déceler la présence de structures algébriques connues dans un ensemble de formules. Ce système rappelle la manière dont un mathématicien qui étudie un nouvel objet peut découvrir que ce dernier relève d'une structure connue comme les groupes — ce qui lui permet de mobiliser ses connaissances sur cette théorie. Cette thèse comprend également une part importante de travail d'implémentation : toutes les contributions listées ci-dessus ont été incorporées dans une bibliothèque et un prouveur automatique, Zipperposition; tous deux sont écrits en OCaml et publiés sous licence libre.

The central concept of theorem designates a claim backed by an irrefutable argument that follows formal rules, called a proof. Proving theorems is very useful in both Computer Science and Mathematics. However, many theorems are too boring and tedious for human experts (for instance, theorems generated to ensure that software abides by some specification); hence the decades-long effort in automated theorem proving, the field dedicated to writing programs that find proofs. Superposition is a very competitive technique for proving theorems in the language of first-order logic with equality over uninterpreted functions (in a nutshell, being able to replace equals by equals in any expression). Even then, Superposition falls short for many problems that require theory-specific reasoning or inductive proofs. In this thesis, we aim at developing new extensions to Superposition. Our claim is that Superposition lends itself very well to being grafted additional inference rules and reasoning mechanisms. First, we develop a Superposition-based calculus for integer linear arithmetic. Linear Integer Arithmetic is a widely studied and used theory in other areas of automated deduction, in particular SMT (Satisfiability Modulo Theory). This theory might also prove useful for problems that have a discrete, totally ordered structure, such as temporal logic, and that might be encoded efficiently into first-order logic with arithmetic. Then, we define an extension of Superposition that is able to reason by structural induction (natural numbers, lists, binary trees, etc. ) Inductive reasoning is pervasive in Mathematics and Computer Science but its integration into general purpose first-order provers has not been studied much. Last, we present a theory detection system that, given a signature-agnostic description of algebraic theories, detects their presence in sets of formulas. This system is akin to the way a mathematician who studies a new object discovers that this object belong to some known structure, such as groups, allowing her to leverage the large body of knowledge on this specific theory. A large implementation effort was also carried out in this thesis; all the contributions presented above have been implemented in a library and a theorem prover, Zipperposition, both written in OCaml and released under a free software license.