Géométrie et dynamique des espaces de configuration

Geometry and dynamics of configuration spaces

• Auteur / Autrice : Mickaël Kourganoff
• Direction : Abdelghani Zeghib
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/12/2015
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Gérard Besson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abdelghani Zeghib, Gérard Besson, Mark Pollicott, Boris Hasselblatt, Thierry Barbot, Viviane Baladi, Étienne Ghys, Bruno Sévennec
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mark Pollicott, Boris Hasselblatt, Thierry Barbot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie conforme

Connexions (mathématiques)

Flots d'Anosov

Flots géodésiques

Géométrie de Riemann

Géométrie de Minkowski

Espace de configuration

Systèmes mécaniques articulés

Mots clés libres

Système articulé

Espace de configuration

Théorème d'universalité

Plan de Minkowski

Géométrie riemannienne

Flot géodésique

Flot Anosov

Billard de Sinaï

Équation de Ricatti

Connexion localement métrique

Groupe d'holonomie

Décomposition de De Rham

Structure de similitude

Géométrie conforme

Feuilletage riemannien

Feuilletage conforme.

Linkage

Configuration space

Universality theorem

Minkowski plane

Riemannian geometry

Geodesic flow

Anosov flow

Sinai billiard

Ricatti equation

Locally metric connection

Holonomy group

De Rham decomposition

Similarity structure

Conformal geometry

Riemannian foliation

Conformal foliation

Résumé

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première, on étudie des systèmes articulés (mécanismes formés de tiges rigides) dont l'espace ambiant n'est pas le plan, mais diverses variétés riemanniennes. On étudie la question de l'universalité des mécanismes : cette notion correspond à l'idée que toute courbe serait tracée par un sommet d'un mécanisme, et que toute variété différentiable serait l'espace de configuration d'un mécanisme. On étend les théorèmes d'universalité au plan de Minkowski, au plan hyperbolique et enfin à la sphère.Toute surface dans R^3 peut être aplatie selon l'axe des z, et la surface aplatie s'approche d'une table de billard dans R^2. Dans la seconde partie, on montre que, sous certaines hypothèses, le flot géodésique de la surface converge localement uniformément vers le flot de billard. De plus, si le billard est dispersif, les propriétés chaotiques du billard remontent au flot géodésique : on montre qu'il est alors Anosov. En appliquant ce résultat à la théorie des systèmes articulés, on obtient un nouvel exemple de systèmes articulé Anosov, comportant cinq tiges.Dans la troisième partie, on s'intéresse aux variétés munies de connexions localement métriques, c'est-à-dire de connexions qui sont localement des connexions de Levi-Civita de métriques riemanniennes ; on donne dans ce cadre un analogue du théorème de décomposition de De Rham, qui s'applique habituellement aux variétés riemanniennes. Dans le cas où une telle connexion préserve une structure conforme, on montre que cette décomposition comporte au plus deux facteurs ; de plus, lorsqu'il y a exactement deux facteurs, l'un des deux est l'espace euclidien R^q. La démonstration des résultats de cette partie passe par l'étude des feuilletages munis d'une structure de similitude transverse. Sur ces feuilletages, on montre un résultat de rigidité qui peut être vu indépendamment des autres: ils sont soit transversalement plats, soit transversalement riemanniens.

This thesis is divided into three parts. In the first part, we study linkages (mechanisms made of rigid rods) whose ambiant space is no longer the plane, but various Riemannian manifolds. We study the question of the universality of linkages: this notion corresponds to the idea that every curve would be traced out by a vertex of some linkage, and that any differentiable manifold would be the configuration space of some linkage. We extend universality theorems to the Minkowski plane, the hyperbolic plane, and finally the sphere.Any surface in R^3 can be flattened with respect to the z-axis, and the flattened surface gets close to a billiard table in R^2. In the second part, we show that, under some hypotheses, the geodesic flow of the surface converges locally uniformly to the billiard flow. Moreover, if the billiard is dispersing, the chaotic properties of the billiard also apply to the geodesic flow: we show that it is Anosov in this case. By applying this result to the theory of linkages, we obtain a new example of Anosov linkage, made of five rods.In the third part, we first consider manifolds with locally metric connections, that is, connections which are locally Levi-Civita connections of Riemannian metrics; we give in this framework an analog of De Rham's decomposition theorem, which usually applies to Riemannian manifolds. In the case such a connection also preserves a conformal structure, we show that this decomposition has at most two factors; moreover, when there are exactly two factors, one of them is the Euclidean space R^q. The proofs of the results of this part use foliations with transverse similarity structures. On these foliations, we give a rigidity theorem of independant interest: they are either transversally flat, or transversally Riemannian.