Formules de classes en caractéristique positive

par Florent Demeslay

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs intéractions

Sous la direction de Bruno Anglès.

Le président du jury était Marc Hindry.

Le jury était composé de Bruno Anglès, Marc Hindry, Federico Pellarin, Lenny Taelman, Floric Tavares Ribeiro.

Les rapporteurs étaient Federico Pellarin, Lenny Taelman.


  • Résumé

    En 2012, Taelman a démontré une formule liant une valeur spéciale de fonction L et un module de classes, tout deux associés à un module de Drinfeld, ce qui fournit un analogue pour les corps de fonctions en caractéristique positive de la formule du nombre de classes. On étend ce résultat aux t-modules d’Anderson sur un corps de fractions rationnelles à s indéterminées, obtenant ainsi des formules du même type pour les valeurs en tout entier strictement positif des fonctions L de Pellarin et Goss. La formule pour ces dernières permet d’étudier la partie moins du module de classes : on donne un annulateur de celle-ci ainsi qu’une caractérisation de sa trivialité dans le cas des corps cyclotomiques associés à un polynôme sans facteur carré. Enfin, on obtient un résultat de log-algébricité qui, en spécialisant les variables en des racines de l’unité, nous permet d’exprimer les valeurs spéciales des fonctions L de Goss comme sommes de polylogarithmes.

  • Titre traduit

    Class formulas in positive characteristic


  • Résumé

    In 2012, Taelman proved a formula relating a special L-value and a class module, both of them associated with a Drinfeld module, providing a characteristic-p-valued function field analogue of the class number formula. We extend this result to Anderson t-modules over a field of rational fractions with s indeterminates. Thus we obtain similar formulas for the values at positive integers of Pellarin and Goss L-functions. The formula for the latter allows us to study the minus part of the class module : we give an annihilator of it and a characterization of its triviality in the case of cyclotomic fields associated with a squarefree polynomial. Finally, we obtain a log-algebraicity result which, specializing variables in roots of unity, gives us an expression of special values of Goss L-functions as sums of polylogarithms.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (90 f.)
  • Annexes : Bibliogr. 30 ref. Index

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  • Bibliothèque : Université de Caen Normandie. Bibliothèque Rosalind Franklin (Sciences-STAPS).
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TCAS-2015-44
  • Bibliothèque : Université de Caen Normandie. Bibliothèque Rosalind Franklin (Sciences-STAPS).
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TCAS-2015-44bis
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