Les groupes de tresses du tore et de la bouteille de Klein

par Carolina De Miranda e Pereiro

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs intéractions

Sous la direction de John Guaschi et de Daniel Vendruscolo.

Soutenue en 2015

à Caen , dans le cadre de École doctorale structures, informations, matière et matériaux (Caen ; 1992-2016) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Daciberg Lima Gonçalves.

Le jury était composé de John Guaschi, Daniel Vendruscolo, Daciberg Lima Gonçalves, Luis Paris, Oziride Manzoli Neto, Paolo Bellingeri.

Les rapporteurs étaient Luis Paris.

mots clés

• Tresses, Théorie des -- Thèses et écrits académiques
• Topologie algébrique -- Thèses et écrits académiques
• Groupes, Théorie des -- Thèses et écrits académiques

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les groupes de tresses Bn(M) et les groupes de tresses pures Pn(M) à n brins d'une surface compacte M. Nous mettons l'accent sur les groupes de tresses du tore T et de la bouteille de Klein K, et sur la compréhension de leur similarités et leurs différences. Nous obtenons de nouvelles présentations de ces groupes qui mettent en évidence leurs ressemblances. Nous généralisons notre présentation des groupes de tresses pures de la bouteille de Klein aux groupes de tresses pures des surfaces non orientables de genre g ≥2. Nous calculons des sections algébriques explicites pour la suite exacte courte de Fadell-Neuwirth des groupes de tresses pures du tore et de la bouteille de Klein, et nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour le scindement de diverses généralisations de cette suite exacte courte aux groupes de tresses mixtes. Ensuite, nous étudions les séries centrales descendantes et dérivées de Bn(T) et Bn(K), et nous déterminons les valeurs de n pour lesquelles ces groupes sont résiduellement nilpotents et résiduellement solubles. Dans une tentative de calculer explicitement les séries centrales descendantes et dérivées de Pn(K), nous donnons une description générale de ces séries d'un produit semi-direct quelconque. Enfin, nous exhibons une présentation de la clôture normale du groupe de tresses d'Artin Bn dans Bn(T), ce qui nous permet de montrer que B2(T) est ordonnable à droite.

Titre traduit

The braid groups of the torus and the Klein bottle

Résumé

IIn this thesis, we study the n-string braid group Bn(M) and pure braid group Pn(M) of a compact surface M, with particular emphasis on the braid groups of the torus T and the Klein bottle K and on understanding their similarities and differences. We obtain new presentations of these groups that highlight their similarities. We generalise our presentation of the pure braid groups of the Klein bottle to the pure braid groups of any non-orientable compact surface of genus g≥ 2. We compute explicit algebraic sections for the Fadell-Neuwirth short exact sequence of the pure braid groups of the torus and the Klein bottle, and we give necessary and sufficient conditions for the splitting of various generalisations of this short exact sequence to mixed braid groups. We then study the lower central and derived series of Bn(T) and Bn(K), and we determine the values of for which these groups are residually nilpotent and residually soluble. In an attempt to calculate explicitly the lower central and derived series of Pn(K), we give a general description of these series for an arbitrary semi-direct product. Finally, we exhibit a presentation of the normal closure of the Artin braid group Bn in Bn(T), which allows us to show that B2(T) is right-orderable.