Intersection arithmétique et problème de Lehmer elliptique

Lehmer's problem and arithmetic intersection

• Auteur / Autrice : Bruno Winckler
• Direction : Pascal Autissier, Fabien Mehdi Pazuki
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 20/11/2015
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Michel Laurent
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yuri Bilu, Eric Gaudron, Olivier Ramaré, Gaël Rémond
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Laurent, Philipp Habegger
• DOI : 10.70675/67185003z93a3z4741za6c5z09a3d4efaa73

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes elliptiques

Fonctions hauteurs canoniques

Problème de Lehmer

Multiplication complexe

Théorie d'Arakelov

Théorie des intersections

Mots clés libres

Problème de Lehmer

Hauteur canonique

De Néron-Tate

Courbes elliptiques

Multiplication complexe

Géométrie d’Arakelov

Intersection arithmétique

Théorème de densité de Chebotarev

Fonctions L

Fonctions zêta

Lehmer problem

Néron-Tate

Canonical height

Elliptic curves

Complex multiplication

Arakelov geometry

Arithmetic intersection

Chebotarev density theorem

L-functions

Zeta-functions

Résumé

Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant'' près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev.

In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a '' exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.