Contrôlabilité de quelques systèmes gouvernés par des équations paraboliques

par Michel Duprez

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Ammar Farid Khodja et de Franz Chouly.

Soutenue le 26-11-2015

à Besançon , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) (laboratoire) et de Laboratoire de Mathématiques de Besançon (laboratoire) .

Le président du jury était Assia Benabdallah.

Le jury était composé de Ammar Farid Khodja, Franz Chouly, Franck Boyer, Emmanuel Trélat, Arnaud Diego Münch, Manuel Gonzalez-Burgos, Pierre Lissy.

Les rapporteurs étaient Enrique Fernández-Cara, Franck Boyer, Emmanuel Trélat.

mots clés

• Contrôlabilité
• Observabilité
• Condition de Kalman
• Méthode des moments
• Inégalité de Carleman
• Systèmes paraboliques
• Carleman, Méthode de
• Équations différentielles paraboliques

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la contrôlabilité approchée et à zéro des systèmes paraboliques linéaires sur un domaine non vide borné Ω de (), contrôlés par moins de forces que d'équations. Les contrôles seront localisés sur un ouvert de Ω ou sur son bord. Nous étudierons deux problèmes différents. Le premier consiste à contrôler une des équations indirectement à l'aide d'un opérateur de couplage d'ordre un. Nous obtenons alors des résultats pour plusieurs classes d'opérateurs et de systèmes. La deuxième question que nous étudierons est de savoir s'il est possible de contrôler seulement certaines composantes de la solution du système. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante lorsque les coefficients de couplage sont constants ou dépendent du temps et étudions un système simplifié quand ils dépendent de l'espace. Nous terminerons en détaillant un schéma numérique avec lequel nous fournirons des perspectives quant à quelques problèmes qui restent ouverts en contrôlabilité partielle des systèmes paraboliques linéaires.

mots clés

• Controllability
• Observability
• Kalman condition
• Moment Method
• Carleman inequalities
• Parabolic Systems

Titre traduit

Controllability of some systems governed by parabolic equations

Résumé

This thesis is devoted to the study of the approximate and null controllability of linear parabolic systems on a nonempty bounded domain Ω of(), controlled by less controls than equations. The controls will be localized in an open set of Ω or on its boundary. We will study two different problems. The first of them involves controlling one of the equations indirectly with a coupling operator of order one. We obtain some results for different class of operators and systems. The second question we will study is to know if it is possible to control only some components of the solution of the system. We give a necessary and sufficient condition when the coupling coefficients are constant or time depending and study a simplified system when they are space dependent. We will finish by giving details on a numerical scheme with which we provide perspectives concerning some open problems in partial controllability of linear parabolic systems.