Combinatoire algébrique des permutations et de leurs généralisations

par Vincent Vong

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Christophe Novelli.

Le président du jury était Jean-Gabriel Luque.

Le jury était composé de Jean-Christophe Novelli, Matthieu Josuat-Vergès, Cyril Nicaud.

Les rapporteurs étaient Guoniu Han, Dominique Manchon.


  • Résumé

    Cette thèse se situe au carrefour de la combinatoire et de l'algèbre. Elle se consacre d'une part à traduire des problèmes algébriques en des problèmes combinatoires, et inversement, utilise le formalisme algébrique pour traiter des questions combinatoires. Après un rappel des notions classiques de combinatoire et d'algèbres de Hopfavec quelques applications, nous abordons l'étude de certaines statistiques définies sur les permutations : les pics, les vallées, les doubles montées et les doubles descentes, qui sont à la base de la bijection de Françon-Viennot, elle-même débouchant sur une étude combinatoire des polynômes orthogonaux. Nous montrons qu'à partir de ces statistiques, il est possible de construire diverses sous-algèbres ou algèbres quotients de FQSym, une algèbre dont une base est indexée par les permutations. Puis, nous étudions deux suites classiques de combinatoire par une démarche non commutative : les polynômes de Gandhi, un raffinement polynomial des nombres de Genocchi, et les nombres d'Euler, une suite recelant de nombreuses propriétés combinatoires. Nous nous attachons à montrer que l'approche non commutative permet, dans la majeure partie des cas, d'obtenir de manière directe des interprétations d'identités combinatoires. Enfin, inversement, certaines questions de nature algébrique peuvent être abordées d'un point de vue combinatoire. Ainsi, à travers l'étude des algèbres dendriformes, des algèbres tridendriformes, et des quadrialgèbres, nous prouvons des questions de liberté à propos de ces algèbres grâce à la combinatoire des arbres étiquetés

  • Titre traduit

    Algebraic combinatorics of permutations and their generalisations


  • Résumé

    This thesis is at the crossroads between combinatorics and algebra. It studies some algebraic problems from a combinatorial point of view, and conversely, some combinatorial problems have an algebraic approach which enables us tosolve them. In the first part, some classical statistics on permutations are studied: the peaks, the valleys, the double rises, and the double descents. We show that we can build sub algebras and quotients of FQSym, an algebra which basis is indexed by permutations. Then, we study classical combinatorial sequences such as Gandhi polynomials, refinements of Genocchi numbers, and Euler numbers in a non commutative way. In particular, we see that combinatorial interpretations arise naturally from the non commutative approach. Finally, we solve some freeness problems about dendriform algebras, tridendriform algebras and quadrialgebras thanks to combinatorics of some labelled trees


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