Propagation des ondes dans un domaine comportant des petites hétérogénéités : modélisation asymptotique et calcul numérique

par Vanessa Mattesi

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Sébastien Tordeux.

Soutenue le 11-12-2014

à Pau , dans le cadre de École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques) .

mots clés

• Propagation des ondes
• Équation des ondes acoustique
• Modélisation asymptotique,
• Méthode de Galerkine Discontinue
• Méthode de raffinement espace-temps
• Calcul numérique
• Théorie des multipôles,
• Sources ponctuelles.
• Ondes -- Propagation
• Équations d'onde
• Développements asymptotiques
• Galerkine, Méthodes de
• Calculs numériques

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation mathématique des hétérogénéités de longueurs caractéristiques beaucoup plus petites que la longueur d'ondes. La thèse consiste en deux parties. La partie théorique est dédiée à l'obtention d'un développement asymptotique raccordé: la solution est décrite à l'aide d'un développement de champ proche au voisinage de l'obstacle et par un développement de champ lointain hors de ce voisinage. Le développement de champ lointain met en jeu des solutions singulières de l'équation des ondes tandis que le champ proche lui est régi par un modèle quasi-statique. Ces deux développements sont alors raccordés dans une zone intermédiaire dite de raccord. Nous obtenons alors des estimations d'erreurs permettant de rendre rigoureux ce développement asymptotique formel. La deuxième partie est numérique. Elle décrit à la fois la méthode de Galerkine discontinue, une méthode de raffinement de maillage espace-temps et propose une discrétisation des modèles asymptotiques obtenues précédemment. Elle est illustrée par un certain nombre de tests numériques.

mots clés

• Wave propagation
• Acoustic wave equation
• Asymptotic analysis
• Discontinuous Galerkine method,
• Local time stepping method
• Numerical calculation
• Multipole methods
• Equivalent source modelling.

Titre traduit

Small heterogeneities in the context of time-domain wave propagation equation : asymptotic analysis and numerical calculation

Résumé

In this thesis, we focus our attention on the modeling of heterogeneities which are smaller than the wavelength. The document is decomposed into two parts : a theoretical one and a numerical one. In the first part, we derive a matched asymptotic expansion composed of a far-field expansion and a near-field expansion. The terms of the far-field expansion are singular solutions of the wave equation whereas the terms of the near-field expansion satisfy quasistatic problems. These expansions are matched in an intermediate region. We justify mathematically this theory by proving error estimates. In the second part, we describe the Discontinuous Galerkin method, a local time stepping method and the implementation of the matched asymptotic method. Numerical simulations illustrate these results.