Propriétés de régularité homologique des variétés de drapeaux quantiques et d’algèbres associées.

par Pablo Zadunaisky Bustillos

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Laurent Rigal et de Andrea Solotar.

Soutenue le 25-03-2014

à Paris 13 en cotutelle avec l'Universidad de Buenos Aires , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) , en partenariat avec Université Paris 13 et de Université Paris 13 (laboratoire) .

Le président du jury était Roland Berger.

Le jury était composé de Paul S. Smith, Nicolás Andruskiewitsch, Guillermo Cortiñas.

mots clés

• Variétés de drapeaux
• Variétés de drapeaux (géométrie)
• Variétés toriques
• Cohen-Macaulay, Anneaux de
• Anneaux de Gorenstein
• Dualité, Principe de (mathématiques)

Résumé

Deux familles d'algèbres noethériennes connexes constituent les objets d'étude de cette thèse ; on les regarde, suivant les idées générales de la géométrie non commutative, comme des anneaux de coordonnées homogènes de certaines variétés projectives. La première famille est celle des variétés toriques quantiques, autrement dit les sous algèbres graduées de tores quantiques. Nous classifions ces algèbres et nous étudions ses propriétés de régularité homologique suivant notamment Artin-Schelter, Zhang et Van den Bergh. La deuxième famille est celle des variétés de drapeaux quantiques et leurs sous variétés de Schubert. Nous démontrons que les algèbres appartenant à cette deuxième famille possèdent une filtration tel que leur graduée associé est une variété torique quantique. Ensuite nous démontrons que les propriétés de régularité homologique des variétés de drapeaux quantiques et des variétés de Schubert se déduisent de celles des variétés toriques quantiques.

mots clés

• Flag varieties

Titre traduit

Homological regularity properties of quantum flag varieties and related algebras

Résumé

The objects of study of this thesis are two families of ”noncommutative varieties”, that is noetherian connected N-graded algebras which, following the general notions of noncommutative geometry, we regard as analogues of homogeneous coordinate rings of certain projective varieties. The first family is that of quantum toric varieties, which are graded subalgebras of quantum tori. We classify these algebras and study their homological regularity properties as defined by Artin-Schelter, Zhang, Van den Bergh, etc. The second family is that of quantum flag varieties and associated algebras, noncommutative analogues of the homogeneous coordinate rings of flag varieties and their Schubert subvarieties. We show that the members of this second family can be endowed with a filtration such that their associated graded algebras are quantum toric varieties. We then show that the homological regularity properties of quantum flag and Schubert varieties can be deduced from those of quantum toric varieties.

Résumé

Los objetos de estudio de esta tesis pertenecen a dos familias de ”variedades no conmutativas”, es decir álgebras N-graduadas conexas noetherianas a las que consideramos, siguiendo la perspectiva de la geometría no conmutativa, como análogos de anillos de coordenadas homogéneas sobre ciertas variedades proyectivas. La primera familia es la de las variedades toricas cuánticas, subálgebras graduadas de toros cuánticos. Clasificamos estas álgebras y estimados en detalle sus propiedades de regularidad homológica, definidas por Artin-Schelter, Zhang, Van den Bergh, etc. La segunda familia es la de las álgebras conocidas como variedades de banderas cuánticas y otras álgebras asociadas, análogos no conmutativos de las álgebras de coordenadas homogeneas de las variedades de banderas y de sus subvariedades de Schubert. Demostramos que los miembros de esta segunda familia pueden filtrarse de forma que sus álgebras graduadas asociadas son variedades toricas cuánticas. Luego probamos que las propiedades de las regularidad homológica de las álgebras de las variedades de bandera y de Schubert cuánticas se deducen de la propriedades de las variedades toricas cuánticas.