Ramification et cycles proches pour les faisceaux ℓ-adiques sur un schéma au-dessus d’un trait

par Haoyu Hu

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Ahmed Abbes et de Lei Fu.

Soutenue le 24-09-2014

à Paris 11 en cotutelle avec Nankai da xue -- Zhongguo Tianjin , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Institut des Hautes Etudes Scientifiques (laboratoire) .

Le président du jury était Gérard Laumon.

Le jury était composé de Ahmed Abbes, Lei Fu, Gérard Laumon, Takeshi Saito, Fabrice Orgogozo, Yichao Tian.

Les rapporteurs étaient Takeshi Saito.

mots clés

• Cycles proches
• Théorie de la ramification
• Conducteur de Swan raffiné
• Formule du conducteur
• Cycle caractéristique
• Class caractéristique (raffinée)
• Faisceaux, Théorie des
• Cohomologie
• Schémas (géométrie algébrique)

Résumé

Dans cette thèse, on étude le complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur un schéma au-dessus d'un trait en utilisant la théorie de ramification d'Abbes et Saito. La première partie est consacrée à une nouvelle preuve d'une formule de Deligne et Kato qui calcule la dimension du complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur une courbe relative lisse au-dessus d'un trait strictement local. Deligne a considéré le cas où le faisceau n'a pas de ramification verticale, et Kato a traité le cas général. Notre approche est basée sur une notion locale de cycle caractéristiquedéfinie grâce au conducteur de Swan raffiné d'Abbes et Saito. Dans la deuxième partie, on démontre une formule qui calcule le conducteur de Swan de la cohomologie du complexe des cycles proches d'un faisceau l-adique sur une variété lisse au-dessus d'un trait d'égale caractéristique, vérifiant une certaine condition de ramification. Tsushima a introduit la classe caractéristique raffinée du faisceau et il a démontré qu'elle calcule le conducteur de Swan de la cohomologie du complexe de ses cycles proches par une formule du type Lefschetz-Verdier. On calcule la classe caractéristique raffinée comme un produit d'intersection sur le fibré cotangent logarithmique de la variété faisant apparaître le cycle caractéristique du faisceau défini par Abbes et Saito et la section nulle.

mots clés

• Nearby cycles
• Ramification theory
• Refined Swan conductor
• Conductor formula
• Characteristic cycle
• (Refined) characteristic class

Titre traduit

Ramification and nearby cycles for ℓ-adic sheaves on a scheme over a trait

Résumé

In this thesis, we study the nearby cycle complex of an l-adic sheaf on a scheme over a trait, using ramification theory of Abbes and Saito. The first part is devoted to a new proof of a formula of Deligne and Kato that computes the dimension of the stalks of the nearby cycle complex of an l-adic sheaf on a smooth relative curve over a strictly local trait. Deligne considered the case where the sheaf has no vertical ramification and Kato extended the formula to the general case. Our approach is based on a local notion of characteristic cycle defined using the refined Swan conductor of Abbes and Saito. In the second part, we prove a formula that computes the Swan conductor of the cohomology of the nearby cycle complex of an l-adic sheaf on a smooth variety over a trait of equal characteristic, satisfying a certain ramification condition. Tsushima introduced the refined characteristic class of the sheaf and he proved that it computes the Swan conductor of the cohomology of its nearby cycle complex by a Lefschetz-Verdier type formula.We compute the refined characteristic class as an intersection product on the logarithmic cotangent bundle of the variety, involving the characteristic cycle of the sheaf defined by Abbes and Saito and the zero section.