Trois chemins contrôlés

par Khalil Chouk

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Massimiliano Gubinelli.

Soutenue le 20-01-2014

à Paris 9 , dans le cadre de Ecole doctorale SDOSE (Paris) , en partenariat avec Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) (laboratoire) et de CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision (laboratoire) .

mots clés

• Chemin rugueux
• Distribution contrôlé
• Intégral de Young
• Paraproduit
• Chemin contrôlé
• Processus gaussiens
• Processus stochastiques
• Mouvement brownien
• Cauchy, Problème de
• Équations aux dérivées partielles

Résumé

Dans cette thèse nous nous proposons de donner certaines applications et généralisations de la théorie des chemins rugueux contrôlé, qu’on peut résumer en trois thèmes : - Obtention d’une « bonne » notions de draps rugueux ce qui permet la construction d’une intégrale plane diriger par des bruit très irrégulier et obtenir une formule de changement de variable pour un drap Brownien fractionnaire ou plus généralement un drap Gaussien.- Construction de solution local et global pour une large classe d’équations aux dérivée partielle dispersive présentant des modulation irrégulière en utilisant l’intégrale de Young non linéaire et la notion de chemin contrôlé. - Interprétation rigoureuse de l’équation de quantisation stochastique en dimension 3 et la construction d’une solution local pour cette dernière en utilisant le notion de distribution contrôlé.

mots clés

• Rough path
• Controlled distribution
• Young intégration theory
• Paraproduct
• Controlled path

Titre traduit

Three controlled paths

Résumé

In this thesis we propose to give some applications and generalizations of the theory of controlled rough paths, which can be summarized under three headings :- Getting a "good" notions of rough sheet which allows the construction of two dimensional integral driven by an irregular noise andobtain a change of variable formula for the fractional Brownian sheet or more generally a Gaussian sheet.- Construction of local and global solution for a large class of dispersive equations with an irregular modulation in the dispersion term using the nonlinear Young integral and the notion of controlled path.- Rigourous Interpretation of the stochastic quantization equation in the 3 dimensional torus and the construction of a local solution for this equation using the notion of controlled distribution.