Analytic Combinatorics of Graphs, Hypergraphs and Inhomogeneous Graphs

• Auteur / Autrice : Elie de Panafieu
• Direction : Vlady Ravelomanana
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions booléennes

Transitions de phases

Probabilités

Analyse combinatoire

Graphes aléatoires

Résumé

Nous étudions deux modèles qui généralisent la notion de graphe : les hypergraphes non-uniformes et les graphes inhomogènes. Ces modèles sont proches de ceux définis par Darling et Norris (2004) et Sôderberg (2002). Nous étudions leur énumération et leur structure typique avant et autour de la naissance de la composante géante. Nous montrons que les graphes inhomogènes sont un cadre idéal pour la modélisation de nombreux problèmes de satisfaction de contraintes (CSP) de complexité polynomiale, tels que la 2-colorabilité, la satisfaisabilité de formules 2- Xor et de formules 2-Xor quantifiées. Nous relions la probabilité de satisfaisabilité de ces problèmes à l'énumération des graphes inhomogènes. En application, plusieurs résultats de transition de phase anciens et nouveaux reçoivent une preuve dans un cadre unifié. Enfin, nous proposons une nouvelle preuve simple du nombre de multigraphes connexes possédant un nombre d'arêtes proportionnel au nombre de sommets, Ce résultat a été obtenu dans le cadre des graphes simples par Bender, Canfield et McKay (1990). L'outil principale de cette thèse est la combinatoire analytique, telle que définie par Flajolet et Sedgewick dans leur livre (2009).

We investigate two graph-like models: the non-uniform hypergraphs and the inhomogeneous graphs. They are close to the models defined by Darling and Norris (2004) and Sôderberg (2002). We enumerate them and derive structure information before and near the birth of the giant component. The inhomogeneous graph model proves to be a convenient framework for the modeling of several tractable constraint satisfaction problems (CSP), such as the 2-colorability problem, the satisfiability of 2-Xor formulas and of quantified 2-Xor formulas. We link the probability of satisfiability of those problems to the enumeration of inhomogeneous graphs. As an application, proofs of old and new phase transition results are derived in a unified framework. Finally, we derive a new simple proof for the asymptotic number of connected multigraphs with a number of edges proportional to the number of vertices. This result was first derived for simple graphs by Bender, Canfield and McKay (1990). The main tool of this thesis is analytic combinatorics, as defined by Flajolet and Sedgewick in their book (2009).