Utilisation de feuilletages transverse à l'étude d'homéomorphismes préservant l'aire de surfaces
Auteur / Autrice : | Jingzhi Yan |
Direction : | Patrice Le Calvez |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 02/12/2014 |
Etablissement(s) : | Paris 6 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche |
Jury : | Examinateurs / Examinatrices : François Béguin, Shigenori Matsumoto, Alain Chenciner, John Guaschi, Frédéric Le Roux, Marco Mazzucchelli |
Mots clés
Résumé
Cette thèse concerne les homéomorphismes de surfaces.Soit f un difféomorphisme d'une surface M préservant l'aire et isotope à l'identité. Si f a un point fixe contractile isolé et dégénéré z0 avec un indice de Lefschetz égal à 1, et si l'aire de M est finie, nous prouverons au chapitre 3 que z0 est accumulé non seulement par des points périodiques mais aussi par des orbites périodiques au sens de la mesure. Plus précisément, la mesure de Dirac en z0 est la limite en topologie faible-étoile d'une suite de probabilités invariantes supportées par des orbites périodiques. Notre preuve est totalement topologique et s'applique au cas d'homéomorphismes en considérant l'ensemble de rotation local.Au chapitre 4, nous étudierons des homéomorphismes préservant l’aire et isotope à l’identité. Nous prouverons l’existence d'isotopies maximales particulières: les isotopies maximales à torsion faible. En particulier, lorsque f est un difféomorphisme ayant un nombre fini de points fixes tous non-dégénérés, une isotopie I joignant l'identité à f est à torsion faible si et seulement si pour tout point z fixé le long de I, le nombre de rotation (réel) ρ(I,z), qui est bien défini quand on éclate f en z, est contenu dans (-1,1). Nous démontrerons l'existence d'isotopies maximales à torsion faible, et nous étudierons la dynamique locale de feuilletages transverses à l'isotopie près des singularités isolées.Au chapitre 5, nous énoncerons une généralisation d'un théorème de Poincaré-Birkhoff local au cas où il existe des points fixes au bord.