Brownian motion on stationary random manifolds

par Pablo Lessa

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Ledrappier et de Mathilde Martinez.

Soutenue le 18-03-2014

à Paris 6 en cotutelle avec l'Universidad de la República (Montevideo). Facultad de Ciencias , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) .

Le jury était composé de À renseigner Kaimanovich, À renseigner Courtois, À renseigner Krikorian, À renseigner Ledrappier, À renseigner Martinez, À renseigner Coudene.

mots clés

• Théorie ergodique
• Variétés aléatoires
• Mouvement brownien
• Entropie
• Propriété de Liouville
• Feuilletages
• Mouvement brownien
• Théorie ergodique

Titre traduit

Mouvement brownien sur les variétés aléatoires stationnaires

Résumé

On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel.

mots clés

• Random manifold
• Brownian motion

Résumé

We introduce the concept of a stationary random manifold with the objective of treating in a unified way results about manifolds with transitive isometry group, manifolds with a compact quotient, and generic leaves of compact foliations. We prove inequalities relating linear drift and entropy of Brownian motion with the volume growth of such manifolds, generalizing previous work by Avez, Kaimanovich, and Ledrappier among others. In the second part we prove that the leaf function of a compact foliation is semicontinuous, obtaining as corollaries Reeb's local stability theorem, part of Epstein's the local structure theorem for foliations by compact leaves, and a continuity theorem of Álvarez and Candel.