Thèse soutenue

Algorithmes et structures de données en topologie algorithmique
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Auteur / Autrice : Clément Maria
Direction : Jean-Daniel Boissonnat
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 28/10/2014
Etablissement(s) : Nice
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - GEOMETRICA / INRIA Sophia Antipolis
: Algorithmic Foundations of Geometry Understanding in Higher Dimensions (projet européen)
Jury : Président / Présidente : Luc Bougé
Examinateurs / Examinatrices : Jean-Daniel Boissonnat, Luc Bougé, Konstantin Michael Mischaikow, Dmitriy Morozov, Gilles Villard, Tamal Krishna Dey, Olivier Faugeras, André Lieutier
Rapporteurs / Rapporteuses : Konstantin Michael Mischaikow, Dmitriy Morozov, Gilles Villard

Mots clés

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Résumé

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La théorie de l'homologie généralise en dimensions supérieures la notion de connectivité dans les graphes. Étant donné un domaine, décrit par un complexe simplicial, elle définit une famille de groupes qui capturent le nombre de composantes connexes, le nombre de trous, le nombre de cavités et le nombre de motifs équivalents en dimensions supérieures. En pratique, l'homologie permet d'analyser des systèmes de données complexes, interprétés comme des nuages de points dans des espaces métriques. La théorie de l'homologie persistante introduit une notion robuste d'homologie pour l'inférence topologique. Son champ d'application est vaste, et comprend notamment la description d'espaces des configurations de systèmes dynamiques complexes, la classification de formes soumises à des déformations et l'apprentissage en imagerie médicale. Dans cette thèse, nous étudions les ramifications algorithmiques de l'homologie persistante. En premier lieu, nous introduisons l'arbre des simplexes, une structure de données efficace pour construire et manipuler des complexes simpliciaux de grandes dimensions. Nous présentons ensuite une implémentation rapide de l'algorithme de cohomologie persistante à l'aide d'une matrice d'annotations compressée. Nous raffinons également l'inférence de topologie en décrivant une notion de torsion en homologie persistante, et nous introduisons la méthode de reconstruction modulaire pour son calcul. Enfin, nous présentons un algorithme de calcul de l'homologie persistante zigzag, qui est une généralisation algébrique de la persistance. Pour cet algorithme, nous introduisons de nouveaux théorèmes de transformations locales en théorie des représentations de carquois, appelés principes du diamant. Ces algorithmes sont tous implémentés dans la librairie de calcul Gudhi.