Énumération de polyominos définis en terme d'évitement de motif ou de contraintes de convexité

Enumeration of polyominoes defined in terms of pattern avoidance or convexity constraints

• Auteur / Autrice : Daniela Battaglino
• Direction : Jean-Marc Fédou, Simone Rinaldi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 26/06/2014
• Etablissement(s) : Nice en cotutelle avec Università degli studi (Sienne, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Informatique, signaux et systèmes (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Elena Barcucci
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Marc Fédou, Simone Rinaldi, Elena Barcucci, Srecko Brlek, Marilena Barnabei, Enrica Ducchi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matrices

Fibonacci, Suite de

Fonctions génératrices

Polyominos

Mots clés libres

Polyominos convexes

Polyominos L-convexes

Fonctions génératrices rationnelles

Fibonacci polynômes

Évitement de motif

Matrices binaires

Convex polyominoes

L-convex polyominoes

Rational generating functions

Fibonacci polynomial

Pattern avoidance

Permutation class

Polyomino class

Binary matrices

Résumé

Dans cette thèse nous étudions la caractérisation et l'énumération de polyominos définis par des contraintes de convexité et ou d'évitement de motifs. Nous nous intéressons à l'énumération des polyominos k-convexes selon le semi périmètre, qui n'était connue que pour k=1,2. Nous énumérons une sous classe, les polyominos k-parallélogrammes, grâce à une décomposition récursive dont nous déduisons la fonction génératrice qui est rationnelle. Cette fonction génératrice s'exprime à l'aide des polynômes de Fibonacci, ce qui nous permet d'en déduire une bijection avec les arbres planaires ayant une hauteur inférieure ou égale à k+2. Dans la deuxième partie, nous examinons la notion d'évitement de motif, qui a été essentiellement étudiée pour les permutations. Nous introduisons ce concept dans le contexte de matrices de permutations et de polyominos. Nous donnons des définitions analogues à celles données pour les permutations et nous explorons ses propriétés ainsi que celles du poste associé. Ces deux approches peuvent être utilisées pour traiter des problèmes ouverts sur les polyominos ou sur d'autres objets combinatoires.

In this thesis, we consider the problem of characterising and enumerating sets of polyominoes described in terms of some constraints, defined either by convexity or by pattern containment. We are interested in a well-known subclass of convex polyominoes, the k-convex polyominoes for which the enumeration according to the semi-perimeter is known only for k=1,2. We obtain, from recursive decomposition, the generating function of the class of k-convex parallelogram polyominoes, which turns out to be rational. Noting that this generating function can be expressed in terms of the Fibonacci polynomials, we describe a bijection between the class of k-parallelogram polyominoes and the class of planted planar trees having height less than k+3. In the second part of the thesis we examine the notion of pattern avoidance, which has been extensively studied for permutations. We introduce the concept of pattern avoidance in the context of matrices, more precisely permutation matrices and polyomino matrices. We present definitions analogous to those given for permutations and in particular we define polyomino classes, i.e. sets downward closed with respect to the containment relation. So, the study of the old and new properties of the redefined sets of objects has not only become interesting, but it has also suggested the study of the associated poset. In both approaches our results can be used to treat open problems related to polyominoes as well as other combinatorial objects.