Propriétés analytiques et diophantiennes de certaines séries de Fourier arithmétiques

Analytic and Diophantine properties of certain arithmetic Fourier series

• Auteur / Autrice : Izabela Petrykiewicz
• Direction : Tanguy Rivoal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/09/2014
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Boris Adamczewski
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tanguy Rivoal, Julien Roques, Emmanuel Peyre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stephane Seuret, Stefano Marmi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formes modulaires

Fractions continues

Ondelettes

Mots clés libres

Dérivabilité

Module de continuité

Exposant de Hölder

Formes modulaires

Séries d’Eisenstein

Fonction thêta

Ondelettes

Fractions continues

Differentiability

Modulus of continuity

Holder regularity

Modular forms

Eisenstein series

Theta function

Wavelets

Continued fractions

Résumé

Nous considérons certaines séries de Fourier liées à la théorie des formes modulaires. Nous étudions leurs propriétés analytiques : la dérivabilité, le module de continuité et l'exposant de Hölder. Nous utilisons deux méthodes différentes. La première revient à trouver et itérer une équation fonctionnelle de la fonction étudiée (méthode d'Itatsu) et la deuxième provient de l'analyse en ondelettes (méthode de Jaffard). L'étape essentielle de chacune dépend de la modularité sous-jacente. Nous trouvons que les propriétés analytiques de ces séries aux points irrationnels sont liées aux propriétés diophantiennes de ces points. Ce travail a été motivé par l'étude de la fonction de Riemann.

We consider certain Fourier series which arise from modular or automorphicforms. We study their analytic properties: differentiability, modulus of continuity and theH¨older regularity exponent. We use two different methods. One is based on finding anditerating a functional equation for the function studied (Itatsu’s method), the second onecomes from wavelet analysis (Jaffard’s method). The crucial steps in both of them arebased on the underlined modularity. We find that the analytic properties of these seriesat an irrational x are related to the fine diophantine properties of x, in a very precise way.The work was motivated by the study of the Riemann series.